Математический анализ. Интегральное исчисление

Две задачи математического анализа

Неопределенный интеграл

Интегрирование по формулам Поскольку операция интегрирования является обратной по отношению к операции дифференцирования, полученный ответ всегда можно проверить. Для этого его надо продифференцировать и показать, что получится подынтегральная функция

Интегрирование по формулам. Способ подстановки Цель занятия – усвоить шестую группу формул;  овладеть методом замены переменной; научиться брать интегралы, содержащие квадратный трехчлен.

Интегрирование по частям Цель занятия – научиться пользоваться формулой  и применять ее к каждому из рассмотренных ниже классов функций.

Интегрирование рациональных дробей Цель занятия – научиться разлагать рациональные дроби на простейшие, научиться интегрировать простейшие рациональные дроби.

Интегрирование иррациональных функций

Интегрирование тригонометрических функций Цель занятия - научиться брать интегралы вида  , где R- рациональная функция относительно .

Вычисление определённого интеграла. Для вычисления определённого интеграла от функции f(x) на отрезке применяют формулу Ньютона-Лейбница

Вычисление площадей плоских фигур Геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

Пример Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями

Решение некоторых физических задач с помощью определённого интеграла Найти работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 0,05 м, если сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м

Несобственные интегралы. Несобственные интегралы обобщают понятие определенного интеграла для 2-х случаев, при которых нарушаются необходимые условия интегрируемости, а именно: 1)под интегралом ограниченая функция f(x) интегрируется , по (полу-) бесконечному  промежутку и 2) под интегралом неограниченная функция g(x) интегрируется по конечному промежутку.

Несобственный интеграл 2-го рода. Интеграл от неограниченной функции.

Приложения определенного интеграла В данном разделе рассмотрим примеры прикладных задач геометрии и физики , в которых вычисление определенного интеграла построенного по условиям задачи позволяет получить требуемый результат. В задачах этого раздела необходимо обратить внимание на обоснование получаемых рабочих формул.

Формула вычисления объема фигуры вращения, образованной вращением линии вокруг координатной оси.

Машиностроительное черчение выполнение четежей