Запас усталостной прочности

Основы теории упругости и пластичности

Напряженное состояние в точке.Уравнения равновесия

  Чтобы охарактеризовать напряженное состояние в произвольной точке тела, находящегося в равновесном состоянии в общем случае нагружения, выделим в ее окрестности некоторый объем в виде элементарного параллелепипеда, грани которого перпендикулярны координатным осям (рис.10.1).

 Если размеры параллелепипеда уменьшать, он будет стягиваться в эту точку. В пределе (dx, dy, dz®0) все грани параллелепипеда пройдут через рассматриваемую точку и напряжения на соответствующих плоскостях параллелепипеда могут рассматриваться как напряжения в исследуемой точке.

 Полное напряжение, возникающее на площадке параллелепипеда может быть разложено на три составляющие, одну по нормали к площадке и две в ее плоскости.

 Нормальное и касательное напряжение обозначаются через s и t, соответственно, с двумя индексами: sxx,syy,...,tzx. Первый индекс соответствует координатной оси, перпендикулярной к площадке на которой действует данное напряжение, а второй-оси, вдоль которой оно направлено. Поскольку, у нормальных напряжений оба индекса одинаковы, то для них применяют и одномерную индексацию: sxx=sx, syy=sy, и szz=sz. Ориентация осей является произвольной.

 Правило знаков примем следующее: если внешняя нормаль к площадке совпадает по направлению с положительным направлением соответствующей оси, то напряжение считается положительным, если оно направлено вдоль положительного направления оси, вдоль которой оно действует. Так, на рис.10.1 все напряжения положительные.


 Из трех условий равновесия параллелепипеда в виде суммы моментов относительно координатных осей достаточно просто получить важные утверждения, что

tyz=tzy;tzx=txz;txy=tyx. (10.1)

  То есть, на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны по величине и направлены обе либо к ребру, либо от него. Это утверждение-закон парности касательных напряжений, сформулированный в общем виде.

 Рассматривая же равновесие параллелепипеда в виде суммы сил по направлениям координатных осей, и отбрасывая величины второго порядка малости, легко получить дифференциальные уравнения его равновесия:

;

; (10.2)

,

где gx, gy, gz-составляющие объемных сил вдоль координатных осей.

 С учетом закона парности касательных напряжений (10.1), уравнения (10.2) содержат шесть неизвестных напряжений: sx, sy, sz, txy, txz, tyz. Поскольку количество уравнений равновесия статики (10.2), меньше, чем количество неизвестных напряжений, то в общем случае задача определения напряженного состояния в произвольной точке сплошной среды нагруженного тела, является статически неопределимой.
Решение контрольной работы по математике, физике , инженерной графике