Примеры решения задач по математике

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

Функциональная зависимость Понятие функции является одним из основных понятий математического анализа.

Сложные и обратные функции

Числовая последовательность и её предел

Непрерывность функции Пример. Исследовать на непрерывность функцию

Решение интегралов Вычисление длин дуг кривых, заданных в полярных координатах. Типовые расчеты (курсовые задания) по математике

Производная Определение производной возникло в результате абстракции из большого числа разнообразных задач геометрического, физического, экономического содержания. Среди них выделяют задачу о касательной, задачу о мгновенной скорости, задачу о производительности труда.

Дифференциал Пример. Найти приращение и дифференциал функции  при  и

Приложения производной Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке X функция  достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке  этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть .

Правило Лопиталя используется при вычислении пределов и служит для раскрытия неопределённостей типа   или .

Исследование функций с помощью производной Пример. Найти интервал монотонности функции

Задачи на максимум и минимум Приведём примерные планы решения текстовых задач на экстремум:

Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба

1. Найти вторую производную функции .

2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба. Если вторая производная будет менять свой знак с плюса на минус или с минуса на плюс в исследуемой точке, то эта точка будет точкой перегиба. Если вторая производная знака не меняет, то точек перегиба нет.

Исследуем функцию на непрерывность. Функция непрерывна в области определения как частное двух непрерывных функций. Вертикальных асимптот нет.

Вычислить неопределённый интеграл — это значит найти множество всех первообразных для подынтегральной функции.

Метод интегрирования по частям Пример. Вычислить интеграл .

Метод замены переменной является одним из основных методов интегрирования. Пример. Вычислить интеграл.

Интегрирование некоторых классов функций Вычислить интеграл .

Интегрирование некоторых видов иррациональностей При интегрировании иррациональных функций основная задача заключается в выборе такой подстановки, которая данное подынтегральное выражение преобразует в рациональное, то есть рационализирует его.

Определённый интеграл и его вычисление Вычислить .

Несобственные интегралы Пример. Вычислить или доказать расходимость интеграла .

Функции нескольких переменных Найти область определения функции .

Предел и непрерывность Пример 1. Вычислить предел .

Частные производные высших порядков Пример. Доказать, что функция   удовлетворяет соотношению .

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Пример. Найти значение функции   в точке .

Пример. Найти частные производные функции Решение. При нахождении частной производной по x будем рассматривать y как величину постоянную

Сложная функция нескольких переменных и ее дифференцирование. Полный дифференциал Цель занятия. Научить студентов дифференцировать сложные функции двух переменных, находить частные и полные производные, полные дифференциалы.

Пример. Найти полный дифференциал функции .

Дифференцирование функции нескольких переменных

Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала. Пример. Вычислить приближенно значение , исходя из значения функции  при x = 1, y = 2, z = 1.

Экстремум функции нескольких переменных Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи: 2x + 3y – 5 = 0.

Производная по направлению Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

Найти области определения функций

Кратные интегралы. Как известно, интегрирование является процессом суммирования. Однако суммирование может производится неоднократно, что приводит нас к понятию кратных интегралов. Рассмотрение этого вопроса начнем с рассмотрения двойных интегралов.

Замена переменных в двойном интеграле

Тройной интеграл. При рассмотрении тройного интеграла не будем подробно останавливаться на всех тех теоретических выкладках, которые были детально разобраны применительно к двойному интегралу, т.к. существенных различий между ними нет.

Геометрические и физические приложения кратных интегралов. Вычисление площадей в декартовых координатах. Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 4x + 4; x + y – 2 = 0.

Теория функций комплексных переменных Определение. Если каждому комплексному числу z из некоторого множества D по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число w из множества G, то на этой области задана однозначная функция комплексного переменного, отображающая множество D на множество G.

Производная функций комплексного переменного

Ряды Тейлора и Лорана Пример. Найти вычет функции  относительно точки z = 2.

Операционное исчисление. Преобразование Лапласа.

Решить уравнение

Криволинейные интегралы Пример. Вычислить интеграл  по одному витку винтовой линии

Формула Остроградского – Грина

Свойства поверхностного интеграла первого рода

Элементы теории поля Пример. Найти , если

Машиностроительное черчение выполнение четежей