Тройной интеграл
Вычисление тройного интеграла в декартовых
координатах
Пусть функция 3-х переменных u = f (x, y, z)
задана и непрерывна в замкнутой области V
xOyz. Тройной интеграл от этой функции по области V
имеет вид:
, где
.
Если область V – правильная в направлении оси Oz (рис. 5),
то ее можно задать системой неравенств:
где z = z1 (x, y) и z = z2 (x, y)
– это уравнения поверхностей, ограничивающих область (тело) V соответственно снизу
и сверху (рис. 5).
Если область D можно
задать системой неравенств
то 
В этом случае тройной интеграл
от функции u = f (x, y, z) по области V можно вычислить
при помощи трехкратного повторного интеграла:
.
Здесь
каждый внутренний интеграл вычисляется по «своей» переменной интегрирования в
предположении, что переменные интегрирования внешних интегралов остаются постоянными.
Существует
всего 6 вариантов сведения тройного интеграла к трехкратному в декартовых координатах
(в зависимости от выбранного порядка интегрирования).
Вычисление
тройного интеграла в цилиндрических координатах
Цилиндрические координаты
точки М в пространстве – это ее полярные координаты на плоскости xOy и координата
z, т.е.
.
Преобразование тройного интеграла
по области V к цилиндрическим координатам осуществляется при помощи формул
,
,
:
.
Если область V задана системой неравенств:
причем
то V: 
Вычисление тройного интеграла по области
V в цилиндрических координатах сводится к вычислению трехкратного интеграла в
соответствии с записанной системой неравенств для области V:
.