Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета

Тройной интеграл

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Пусть функция 3-х переменных u = f (x, y, z) задана и непрерывна в замкнутой области V xOyz. Тройной интеграл от этой функции по области V имеет вид: , где .

Если область V – правильная в направлении оси Oz (рис. 5), то ее можно задать системой неравенств:  где z = z1 (x, y) и z = z2 (x, y) – это уравнения поверхностей, ограничивающих область (тело) V соответственно снизу и сверху (рис. 5).

 Если область D можно задать системой неравенств

  то

В этом случае тройной интеграл от функции u = f (x, y, z) по области V можно вычислить при помощи трехкратного повторного интеграла:

.

Здесь каждый внутренний интеграл вычисляется по «своей» переменной интегрирования в предположении, что переменные интегрирования внешних интегралов остаются постоянными.

Существует всего 6 вариантов сведения тройного интеграла к трехкратному в декартовых координатах (в зависимости от выбранного порядка интегрирования).

 

 

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах

Цилиндрические координаты точки М в пространстве – это ее полярные координаты на плоскости xOy и координата z, т.е. .

Преобразование тройного интеграла по области V к цилиндрическим координатам осуществляется при помощи формул , , : .

Если область V задана системой неравенств:

  причем  то V:

Вычисление тройного интеграла по области V в цилиндрических координатах сводится к вычислению трехкратного интеграла в соответствии с записанной системой неравенств для области V:

.