Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Функции нескольких переменных

Основные понятия, определения

1°. - множество всех упорядоченных пар чисел (x,y) (троек чисел (x,y,z)). - множество всех упорядоченных наборов n чисел .

2°. Функция f n переменных сопоставляет по определенному правилу каждому набору n чисел  из области определения  единственное значение u из области значений , что записывается в виде  или  В дальнейшем будем рассматривать функции двух (трех) переменных ,  .

3°. Если (x,y) (или (x,y,z)) - декартовы координаты точки плоскости Oxy (или пространства Oxyz), то D – часть плоскости или вся плоскость (часть пространства или все пространство).

4°.e - окрестность точки - множество всех точек , не совпадающих с точкой , расстояние до которых от точки  меньше e: . Так, e - окрестность точки  - множество точек M(x,y), удовлетворяющих условию   - шар радиуса e без границы с выколотым центром .

5°. Назовем точку внутренней точкой области, если она принадлежит этой области вместе со всеми точками какой – нибудь своей окрестности. Любая окрестность граничной точки области содержит точки, принадлежащие области, и точки, не принадлежащие области. Сами граничные точки могут принадлежать области, а могут не принадлежать.

6°. Область называется замкнутой, если она содержит все свои граничные точки.

Пример 1. Найти и изобразить область определения функций:

 а) ; б) .

Ñ а) функция определена, если x и y удовлетворяют системе неравенств (которую последовательно решаем)   Следовательно, область определения множество точек   .Область определения изображена на рис. 9.1.

б) функция определена, если x и y удовлетворяют системе неравенств

 
Область определения получается пересечением множеств:  - множество точек “под” параболой , включая саму параболу; - внутренность круга радиуса 1 с центром в точке , - вся плоскость Oxy, исключая точку

. Итак,   (рис. 9.2).

 

 

 

 


Задачи для самостоятельного решения

Найти области определения следующих функций:

1. . 2. . 3.
4. . 5. . 6. . 7. . 8.

Машиностроительное черчение выполнение четежей