Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Непрерывность функции

 1°. Функция f(M) называется непрерывной в точке , если выполнены условия : 1) f(M) определена в точке M0 ; 2) существует ;

3) .

 2°. Функция f(M) называется непрерывной в области U , если она непрерывна в каждой точке области U.

 3° . Если в точке M0 нарушено хотя бы одно из условий 1) – 3) непрерывности функции в точке, то M0 называется точкой разрыва функции f(M). Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва и т.д.

 Теорема 9.1 (Вейерштрасса). Если множество U, принадлежащее области определения функции f, является замкнутым и ограниченным, а функция f непрерывна на U, то f достигает на U своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. существуют такие точки  и , что для любой точки  выполняется неравенство Эротичные красотки на видео

Пример 3. Найти точки разрыва функций: а)

б)

 Ñ а) Область существования функции  есть множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют условию  или - внутренность круга радиуса  с центром в точке O (0;0). Функция  не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. , отсюда  или . Таким образом, функция z(x,y) разрывна на окружности  .

б) Функция u(x,y,z) не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль. Поэтому в пространстве Oxyz точки разрыва  функции образуют поверхность – конус. #

Задачи для самостоятельного решения

Найти точки разрыва функций двух переменных:

14.  15.  16.

Найти точки разрыва функций трех переменных:

17.  18.

19*. Исследовать непрерывность функции при x = 0, y = 0:

 1) . 2) .

 3) .

 

Частные производные и дифференцируемость функции

 1°. Пусть M(x1,…,xk,…,xn) – произвольная фиксированная точка из области определения D функции  и точка  Если существует предел

,

то он называется частной производной первого порядка данной функции по переменной xk в точке M и обозначается  или , или .

 Частные производные вычисляются по правилам дифференцирования функции одной переменной, при этом все переменные, кроме xk , рассматриваются как постоянные.

2°. Частными производными второго порядка функции  по соответствующим переменным называются частные производные от ее частных производных первого порядка, они обозначаются:   =,  и т.д. Аналогично определяются частные производные порядка выше второго.

Теорема 9.2 Если смешанные производные непрерывны, то они совпадают: .

 Таким образом, результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от порядка дифференцирования при условии, что возникающие при этом “смешанные” частные производные непрерывны.

Пример 4. Найти частные производные первого и второго порядков от функции .

Ñ Считая последовательно постоянной “y”, затем “x”, и применяя правило дифференцирования сложной функции, получим: ,

. Дифференцируя вторично, получим:

,

,

,

.#

Задачи для самостоятельного решения

 Найти частные производные 1-го и 2-го порядков от заданных функций:

20. . 21. . 22. . 23. .

24. . 25. Найти , если .

Машиностроительное черчение выполнение четежей