Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета

Вычисление объема тела

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений

Пусть требуется найти объем V тела (рис 5), причем известны площади  сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, на­пример оси Ox:S = S(x), a≤ x≤ b [5]

Применим схему II (метод дифференциала).

Через произвольную точку x  [а; b] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох. Обозначим через S(x) площадь сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно изменяю­щейся при изменении x. Через v(x) обозна­чим объем части тела, лежащее левее плос­кости П. Будем считать, что на отрезке [а; x] величина v есть функция от x, т. е. v = у(x) (v(a) = 0, v(b) = V).

2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет собой 

“элементарный слой” тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках x и x + Δx, который при­ближенно может быть принят за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. Поэтому дифференциал объема dV = S(х) dх.

Находим искомую величину V путем интегрирования dА в пределах от a до b:

V = S(x) dx

Формула объема тела по площади параллельных сечений

Пример: Найти объем эллипсоида  (рис 6)[5]

Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости OYZ и на расстоянии х от нее (-a≤ x≤ b.), получим эллипс

Площадь этого эллипса равна S(x) = bc(1 - ). Поэтому, по формуле имеем

V = bc(1 - )dx = abc.

Машиностроительное черчение выполнение четежей