Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Предел функции

  Пусть функция  определена на множестве D и точка .

1°. Число А называется пределом функции f(M) при стремлении точки  к точке   (или, другими словами, при , если для любого, сколь угодно малого положительного e найдется такая d- окрестность точки , что для любой точки M из этой окрестности выполняется  и обозначается . Этот предел не должен зависеть от способа (“пути”) стремления M к М0.
Используя логические символы   .Для функции двух переменных f (x,y)    .

2°. Функция f(M) называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при стремлении M к точке M0, если   . Практически, при вычислении  удобно задать проходящую через точки M и М0 линию в параметрической (или иной ) форме, сведя тем самым задачу к вычислению предела функции одной переменной по известным правилам и теоремам.

Пример 2. Вычислить пределы: а) , б)

Ñ а) Пусть точка M(x,y) из окрестности точки M0(0,0) стремится к точке М0 по прямой y=kx ( проходящей через точки М0 и М). Тогда из  следует  и . Пределы получаются разными при различных “k” и не существует числа A, к которому значения  становились бы сколь угодно близки, как только точка M(x,y) оказывается в достаточной близости от точки M0(0,0). Предел данной функции при M®M0(0,0) не существует.

б) =½находим предел вдоль луча y=kx (k>0, ) при x®¥½=½применим правило Лопиталя два раза½=

 – предел существует и равен нулю. #

Задачи для самостоятельного решения

 Вычислить пределы функций, полагая, что независимые переменные произвольно стремятся к своим предельным значениям.

9.  10.  11.  
12.   13.

Машиностроительное черчение выполнение четежей