Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета

Задача 6. Проверить, является ли векторное поле силы  потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы  при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3).

Решение.

Для проверки потенциальности векторного поля  найдем его ротор по формуле (19):

Следовательно, поле потенциально.

 Для проверки соленоидальности поля найдем его дивергенцию по формуле (17):

.

Следовательно, поле не соленоидально.

Для нахождения потенциала U(x, y, z) векторного поля возьмем фиксированную точку В(0, 0, 0), текущую точку С(x, y, z) и вычислим криволинейный интеграл  по ломаной ВEKC, звенья которой параллельны осям координат и E(x, 0, 0), K(x, y, 0) (см. рис. 8). По формуле (20) получим:

Получили потенциал поля , где С – произвольная постоянная. Для проверки решения найдем градиент потенциала : . Следовательно, потенциал поля силы найден верно.

 Найдем работу векторного поля  при перемещении единичной массы из точки M(0,1,0) в точку N(–1,2,3) по формуле (21):

.

Ответы: поле  потенциально, не соленоидально; , где С – произвольная постоянная; работа А = –10.


Рекомендуемая литература

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс: Рольф, 2002. – 256 с.

3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебник для втузов. В 2 т. Т. 1 / Н. С. Пискунов.– М.: Интеграл-Пресс, 2001.– 456 с.

4. Шипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Шипачев.– М. : Высш. шк., 2007.– 479 с.

5. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для втузов. В 2 ч. Ч.1 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М.: Оникс: Мир и образование, 2005.– 304 с.

6. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для втузов. В 2 ч. Ч.2 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М.: Оникс: Мир и образование, 2005.– 416 с.

7. Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Шипачев.– М. : Высш. шк., 2001.– 304 с.

8. Кручкович Г.И. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики: учебное пособие для втузов. / Г.И. Кручкович [и др.], под ред. Г.И. Кручковича. – М.: Высш. шк., 1970.– 512 с.

Машиностроительное черчение выполнение четежей