Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Физическая природа проводимости

Экстремум функции 2-х переменных

 Пусть  - внутренняя точка области определения функции . Точка  называется точкой минимума (максимума) функции f, если существует такая окрестность  точки , что для любой точки  выполняется  .

Точка  называется точкой экстремума функции f, если она является точкой минимума или точкой максимума этой функции.

Теорема 9.7. (Необходимое условие экстремума.) Если - точка экстремума функции, то каждая частная производная  и  либо равна нулю, либо не существует.

 Точка  называется критической точкой функции f, если в ней выполняются необходимые условия экстремума функции f.

Теорема 9.8. (Достаточные условия экстремума.) Пусть: а) - критическая точка функции f, б) существуют и непрерывны производные  в точках  и , в) .Тогда: 1) если  и  , то - точка минимума функции f ; 2) если  и  , то - точка максимума функции f ; 3) если , то не является точкой экстремума; 4) если , то требуется дополнительное исследование.
Отметим, что в случае  существуют такие две прямые, проходящие через точку , что при движении точки M по первой из этих прямых значения функции  сначала уменьшаются, затем возрастают. При движении точки М по другой прямой значения функции сначала возрастают, в точке достигают максимума, затем уменьшаются. В этом случае точку  называют седловой.

Пример 16. Исследовать на экстремум функцию .

Ñ Из необходимого условия экстремума функции (теорема 9.7) имеем систему  решая которую получаем критические точки  . Определим характер критических точек по достаточным условиям экстремума. Находим  . В точке : , , . Следовательно, - седловая точка. В точке :  , , поэтому - точка минимума функции z; .

Машиностроительное черчение выполнение четежей