Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

 

Приложения частных производных и дифференциала

Приложение дифференциала к приближенным вычислениям

Для дифференцируемой функции  при достаточно малом

из формул (5.1) – (5.3) следуетили, что то же самое, 

 . (7.1)

Пример 14. Вычислить приближенно .

Ñ Искомое число будем рассматривать как значение функции  при  и , если . Точка  выбрана из соображений близости ее к точке  и простоты вычисления значений функции f и ее частных производных в точке М. По формуле (7.1) имеем .

Находим  . Следовательно,  » . #

 

Касательная поверхность и нормаль к поверхности

1°. Касательной плоскостью к поверхности в ее точке  (точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку. Уравнение касательной плоскости в точке касания  имеет вид:

а) к поверхности F(x,y,z) = 0:
, (7.2)

б) к поверхности .

2°. Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания. Параметрические уравнения нормали в точке касания  имеют вид:

а) к поверхности :

 ; (7.3)

б) к поверхности :

   .

Пример 15. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности  в точке М(2,4,6).

Ñ Обозначив через  левую часть уравнения поверхности, найдем
      По формуле (7.2) имеем уравнение касательной плоскости  или . По формулам (7.3) находим уравнения нормали в параметрической форме , отсюда можно получить канонические уравнения нормали .

Машиностроительное черчение выполнение четежей