Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Теорема Пифагора

               

                Цели: Повторение и изучение различных доказательств теоремы Пифагора и ее обобщений. Рассматриваются доказательства этой теоремы, полученные Евклидом, Паппом и  другими авторами. Подробно изучается конструкция Евклида («Пифагоровы штаны»), лежащая в основе его доказательства теоремы Пифагора в конце первой книги  «Начала». Заключительная часть задачного материала посвящена некоторым приложениям в комбинациях с другими важными теоремами планиметрии.

Используя  рис.1,  известный  по меньшей мере с 2000 г. до новой эры, завершите доказательство теоремы Пифагора для (египетского) прямоугольного треугольника со сторонами 3,4,5. Разберите по аналогии общий случай.

     

                     Рис.1                                Рис.2                                       Рис.3

Доказательство теоремы Пифагора на основе рис.2 было найдено генералом Д.Э. Гарфильдом за несколько лет до того, как он стал президентом США. Оно было опубликовано примерно в 1875 году в New  England  Journal of Education. Восстановите это доказательство, выразив тот факт, что площадь четырехугольника равна сумме площадей  трех треугольников.

Используя построения на рисунке 3, придуманные американским ученым Генри Перигалем, докажите теорему Пифагора еще одним способом.

При помощи циркуля и линейки постройте

      а) квадрат,  равновеликий данному прямоугольнику;

     б) квадрат, площадь которого равна сумме площадей двух данных квадратов;

      в) квадрат, равновеликий данному  выпуклому четырехугольнику. 

Найдите расстояние до вершины прямого угла прямоугольного  треугольника с катетами а и b до центра       квадрата, построенного вне треугольника на его гипотенузе.

(Евклид) Докажите, что на «пифагоровых штанах» (рис. 4), имеет место равенство . Как с помощью этого доказать теорему Пифагора?

                                                Рис.4                                                       Рис.5

На рис. 5 треугольник АВС – остроугольный,  и I2, II, III, IV-  квадраты. Докажите, что [II] - [I] = [IV] - [III], где  [X] обозначает площадь квадрата X.

(Теорема Евклида) Докажите следующие два утверждения:

а) квадрат стороны, лежащий против острого угла треугольника, равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения одной из этих сторон на проекцию на нее другой стороны;

б) квадрат стороны, лежащий против тупого угла тупоугольного
треугольника, равен сумме квадратов двух других сторон, сложенной с
удвоенным произведением одной из этих сторон на проекцию на нее другой стороны.

Рис.6

                9. На сторонах треугольника АВС во внешнюю сторону построены  квадраты PQBA, RSCB и TUAC. Найти площадь  шестиугольника PQRSTU, если АВ=15, ВС=14 и СА=13.

                10. (Теорема Паппа) Пусть ABC- произвольный треугольник и на сторонах АВ и АС во внешнюю сторону построены произвольные параллелограммы АА'B'В и АСС''А" (рис. 7) таким образом, чтобы они не накладывались друг на друга. На стороне ВС построим параллелограмм ВВ'"С'"С также во внешнюю сторону, у которого ВВ'" || АР и ВВ'" = АР, где Р - точка пересечения прямых  A'B' и А"С".  Тогда площадь третьего параллелограмма равна сумме площадей первых двух.

Рис.7

                11. a) Найти разность площадей параллелограммов MLHD и FIKJ (Рис. 8; ABC- прямоугольный треугольник, на сторонах которого построены квадраты), если известна разность площадей квадратов BCGF и ACED.

Рис.8

   б) Чему равна разность площадей квадратов, построенных на сторонах DH и FI вместо параллелограммов?  

                12. (Исследовательский проект) Пусть  X, Y, Z -  центры квадратов (рис.9), построенных на сторонах прямоугольного треугольника.

а) Доказать, что , , , , AQ = QR.

б) Доказать, что точки в каждой из троек лежат на одной прямой.

в) Найти длины отрезков  BE, CE', DB', ZY, XY.

г) Выяснить, какие из утверждений в пунктах а) - в) остаются справедливыми для произвольного, исходного на рис.9, треугольника АВС?

Рис. 9

                13.  Пусть F -середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника AВС и ВС = 3AС. Точки D и  Е делят сторону ВС на три равные части (рис.10).    Докажите, что треугольник DEF является прямоугольным и равнобедренным.

Рис.10

     14. а) Медиана и высота, проведенные из одного угла С треугольника AВС делит этот угол на три равные части. Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

           б) Медиана, биссектриса и высота треугольника ABC разбивают угол С на четыре равных угла. Найдите углы треугольника.

                15. Внутри прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С точка О является вершиной равновеликих треугольников ABO, ОАС, ОВС. Докажите, что ОА2+OВ2 = 5 OС2.

                16. В треугольнике ABC из вершины прямого угла С опущена высота CD.

      а)  Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если радиусы

 окружностей, вписанных в треугольники АСD и ВСD равны R1 и R2.

      б) Найдите периметр треугольника ABC, если периметры треугольников ADС и BDС равны p1 и р2.

                17. Докажите, что необходимым и достаточным условием того, чтобы данный треугольник был прямоугольным, является равенство 2R + r = р, где  R  -  радиус  описанной  окружности,   г -  радиус   вписанной  окружности, р - полупериметр треугольника.

 

Методические замечания

                1. Целесообразно сопроводить этот коллоквиум рассказами исторического характера. И, в частности, о роли Евклида и его «Начал» в становлении геометрии как науки и, по – существу, первой серии книг по методике ее преподавании. Уместно остановиться и на методологических принципах написания «Начал» и на роли аксиом в математических построениях. По этому поводу имеется обширная литература: См., например, вводную статью к изданию [1] и [2,3]. Отметим также следующие две книги А.В. Волошинова: Математика и искусство.(М.: Просвещение, 2000); Пифагор (М.: Просвещение, 1993). В них заинтересованный преподаватель найдет много интересных сведений самого разнообразного характера.

                2. В задании содержатся разные доказательства теоремы Пифагора. Однако доказательство, составляющее задачу 3, играет важную роль при изучении темы «Равносоставленность многоугольников» в дальнейшем. Поэтому следует при разборе задач коллоквиума обратить на  нее особое внимание и добиться полного понимания того, что она дает способ разбиения двух квадратов на части, из которых можно сложить новый квадрат. Неплохо устроить небольшую лабораторную (практическую) работу, попросив учащихся изготовить такие части из бумаги прямо на уроке.

                3. Конечно, центральное место в задании отведено конструкции Евклида «пифагоровы штаны») и  не только для прямоугольных треугольников. Она состоит в том, что на сторонах исходного треугольника, как на основаниях, строятся квадраты. Такая конструкция кроме математической эстетичности обладает множеством интересных свойств, а также оказывается полезной для доказательства различных содержательных фактов (в том числе, и самой теоремы Пифагора). Рассмотрение цикла задач, связанных с этой конструкцией, кроме формирования определенных умений и навыков  у школьников привлекает их внимание как красивыми и информативными картинками, так и любопытными фактами. С этой целью и предложен небольшой исследовательский проект.

                Целесообразно подчеркнуть, что теорема Евклида, по существу, является одной из форм теоремы косинусов для треугольников.

                4. Теорема Паппа  (задача 10) интересна и сама по себе. Любопытны их соединение идей Евклида и Паппа при составлении новых задач (например, задача 11). Кроме того, она также является и одной из первых задач (вместе с доказательством Евклида» на общий метод сравнения площадей многоугольников. Этой теме в школьной программе уделяется особое внимание при повторении планиметрии и ей посвящено отдельное задание другого коллоквиума. Если же такого коллоквиума проводить не планируется, то его материал используется при  проведении уроков в классе.   

Список литературы:

1. Евклид. Начала. Т.1. -М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

2. Литцман В. Теорема Пифагора. -М.: Просвещение, 1960.

3. Вавилов В.В. По следам теоремы Пифагора. –М.: Школа имени А.Н. Колмогорова,  ”Самообразование”, 2000.

4. В.В. Вавилов, П.М. Красников. Пифагоровы штаны. - Учебно-методическая газета «Математика. 1 сентября», №17, 2005.

 Две прогрессии

                Цели: Повторение и закрепление пройденного материала; в частности, на задачах вступительных экзаменов в вузы. Знакомство с историческими аспектами развития понятий и задачами прикладного характера. Анализ аналитико-графических связей между двумя прогрессиями. Знакомство с обшей теорией рекуррентных последовательностей и введение в математический анализ последовательностей: конечные разности, суммирование, и др. (пропедевтика основ дифференциального, интегрального исчислений и теории обыкновенных дифференциальных уравнений).

1. Арифметическая прогрессия

                1.1. а) Пусть {an} – арифметическая прогрессия со знаменателем d. На графике какой функции в плоскости Оху  лежат точки с координатами , … , (n,),…?             Найдите уравнение этой функции и постройте ее график.

                б). Докажите, что последовательность  {an}, у которой заданы первые два  члена а1 и а2, является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда

an+1  - 2an + an-1 = 0 при всех n = 2,3,…   .

                в). Являются ли арифметическими прогрессиями последовательности, общий член которых вычисляется по формуле ([x] – целая часть числа х):

а) an = n2,  b) an = [n + 1/ 2] , c) an = 1 + 2 ; d) an = ôn -10ô?

                г). Пусть {an}, {bn} – арифметические прогрессии. Является ли арифметической прогрессией последовательность:

1) {an  + bn};  2) {an - bn}; 3) {10an - 7bn};  4) {anbn}; 5) {an/bn}, если bn ¹ 0?

                1.2. Найти числа, одновременно являющиеся членами двух конечных арифметических прогрессий 3, 7, 11, …, 407  и  2, 9, 16, …, 709. Сколько имеется таких чисел?

                1.3. О первых семи членах убывающей арифметической прогрессии известно, что сумма пятых степеней всех этих членов равна нулю, а сумма их четвертых степеней равна 51. Найти седьмой член этой прогрессии. 

                1.4. а)  Доказать, что если {an} -  арифметическая прогрессия без нулевых членов, то

.

                б)   Вычислите сумму

.

                в)* Доказать, что

.

                1.5. Найти четыре целых числа, являющихся последовательными членами арифметической прогрессии, при условии, что наибольшее из них равно сумме квадратов трех остальных.

                1.6. Найти все возможные значения суммы убывающей арифметической прогрессии (m –некоторое целое число)

,  , …, .

                1.7. Доказать, что если даны две функции f(x) и j(x), такие что

f(x) = j (x+ d) - j(x),

где d – некоторое число, то

f(x) + f(x+d) + f(x+2d) + …+ f(x+nd) = j(x+(n+1)d) - j(x).

                Проверить, что

а) sin (sin x + sin (x + d) + sin(x+2d) +…+sin(x+nd))=;

                б) 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n-1) = n2.

                1.8. а)  Найти сумму квадратов натуральных чисел

S2 = 12 + 22 + 32 + …+ n2.

                б) Пусть     

Sk = 1k + 2k + 3k + … + nk, k =0, 1, 2, 3, …

Доказать, что

(k+1)Sk + Sk-1  + … + S0 = (n+1)k+1 – nk+1.

                в) Используя найденную рекуррентную зависимость, найти S3.

                1.9*. Дана бесконечная арифметическая прогрессия, члены которой – целые положительные числа. Один из них – полный квадрат. Доказать, что прогрессия содержит бесконечно много квадратов.

2. Геометрическая прогрессия

Пусть {bn}- геометрическая прогрессия. Докажите, что

             а)  при  1 £ k £ n-1.

                       б) bnbm = bkbl ,   если  m+n = k+l.

                                2.2. Докажите, что если {an} - арифметическая прогрессия с разностью d , то последовательность c общим членом , где  b > 0 и b ¹ 1, является геометрической прогрессией, первый член которой равен , а знаменатель равен bd. Если {bn} - геометрическая прогрессия, у которой первый член b1 и знаменатель q положительны, то последовательность с общим членом

,

где с > 0 и с ¹1, является арифметической прогрессией, первый член которой равен logcb1,  а разность равна logcq.

                2.3. Пусть {an}и {bn}- арифметическая и геометрическая прогрессии соответственно, причем a2 > a1 > 0, a1 = b1, a2 = b2. Доказать, что ak < bk  при любом k ³3.

Докажите следующие формулы:

            а)

б)  если 1 £ k < n, q  ¹ 1, то

              в) Найти  Tn = 1 + 2a + 3a2 + 4a3 + … + nan-1.

                2.4.(Геометрическая интерпретация)  Пусть 0 <q <1; на рис.1 четырехугольники ОАС1В и ОРMN - квадраты, длины сторон которых соответственно равны 1 и        1/(1-q), ОВïïC1D1 ïïC2D2ïï...,   BC1 ïïD1C2ïïD2C3....

                Докажите, что  сумма первых n членов геометрической прогрессии с первым членом, равным 1, и со знаменателем q равна ординате точки Dn. Докажите то же утверждение для случая -1< q <0 (рис. 2).

 

    

                     Рис.1                                                                                   Рис.2

                2.5.Найти     S = 1 + 11 + 111 + … + 11…1,

где в записи последнего числа этой суммы участвует 1000 цифр.

                2.6.Четыре числа b1, b2, b3, b4 образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Если к ним прибавить 6, 7, 6 и 1 соответственно, то получим числа, образующие в том же порядке арифметическую прогрессию. Найдите числа b1, b2, b3, b4.

                2.7.Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия содержит член bn = 1/6.  Отношение суммы членов прогрессии, стоящих перед bn, к сумме членов, стоящих после bn , равно 6. Найдите n, если сумма всей прогрессии равна 3/4.

Доказать, что условие

,

где  b1, b2,…, bn – действительные числа, является необходимым и достаточным для того, чтобы эти числа составляли конечную геометрическую прогрессию.

3. Рекуррентные последовательности

                Последовательность {an}, n =1,2,3,… , общий член которой определяется соотношением

,

где q и d - заданные числа, q2 + d2 ¹ 0, при q =1  является арифметической прогрессией с разностью d, а при d = 0 - геометрической прогрессией со знаменателем q. Поэтому такую последовательность будем называть арифметико-геометрической прогрессией; она полностью определяется написанной формулой и заданием чисел q, d  и a1.

                3.1. Найти формулу общего члена последовательности, если она задана соотношением:

                                                а) an+1 = 2an – 1, n =1,2,3,… (а1 = 4)

                                                б)  n =1,2,3,…

                                                в) an+1  = 3an + 2n -3, a1 = 2.

                3.2 Пусть - арифметико-геометрическая прогрессия. Доказать, что  аn+1  = (1+q) an – qan-1, n ³ 2.  (последовательность, заданную формулой так, что по некоторым ее предыдущим членам всегда можно найти  все последующие члены этой последовательности, называется рекуррентной последовательностью.)

                3.3. Рассмотрим рекуррентную последовательность, заданную соотношением

an + 2 = 5an + 1 – 6an ,  a1= a2 = 1.

                а) В предположении, что решения  надо искать в виде геометрических прогрессий с единичным первым членом, найдите знаменатели q1 и  q2 этих прогрессий. Почему их две?

                б) Докажите, что последовательность   а q1n + b q2n  (где a, b – произвольные фиксированные числа)   также удовлетворяет данному соотношению при всех n.

                в) докажите, что других решений, кроме как решений вида из пункта б) нет.

                3.4.a) Пусть xn = 2n и yn = 7n,  n = 1,2,3,… Докажите, что обе эти последовательности удовлетворяют рекуррентному соотношению

an + 1  = 9an - 14an - 1, n =2,3,…

                б) Пусть xn = , yn = ,  n = 1,2,3, …, и q1 ¹ q2. Докажите, что  множество всех решений рекуррентного уравнения

an+1  = (q1 + q2) an  - q1 q2 an-1 , n =2,3,…

состоит из последовательностей вида zn = Axn + Byn , где А и В – произвольные числа.