Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета

 

Интегральное исчисление в геометрии

Вычисление длины дуги плоской кривой

Прямоугольные координаты

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f(x), где a ≤ x ≤ b. (рис 2)[7] http://xn----jtbokebcckdlay.net/

Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю.

Применим схему I (метод сумм).

Точками X = a, X, … , X = b (X ≤ X≤ … ≤ X) разобьем отрезок [a, b] на n частей. Пусть этим точкам соответствуют точки M = A, M , … , M = B на кривой AB. Проведем хорды MM, MM, … , MM , длины которых обозначим соответственно через ΔL, ΔL, … , ΔL.

Рис 2

 

Получим ломанную MMM … MM, длина которой равна L = ΔL+ ΔL+ … + ΔL =  ΔL.

Длину хорды (или звена ломанной) ΔL можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами ΔX и ΔY:

ΔL = , где ΔX = X - X, ΔY = f(X) – f(X).

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции ΔY = (C) ΔX, где C  (X, X). Поэтому

ΔL =  =  ,

а длина всей ломанной MMM … MM равна

L =  ΔL = .

Длина кривой AB, по определению, равна L = L =  ΔL. Заметим, что при ΔL  0 также и ΔX  0 (ΔL =  и следовательно | ΔX | < ΔL). Функция  непрерывна на отрезке [a, b], так как, по условию, непрерывна функция f (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L =  ΔL = , кода max ΔX  0:

L =  = dx.

Таким образом, L = dx.

Пример: Найти длину окружности радиуса R. (рис 3)[5]

Решение:


Найдем ј часть ее длины от точки (0;R) до точки (R;0). Так как y = , јL =  dx = R arcsin = R .

 


Значит L = 2R. 

Машиностроительное черчение выполнение четежей