Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

Дифференцирование сложных и неявных функций

Сложные функции одной и нескольких переменных

1°. Пусть  и в свою очередь, .

Теорема 9.5. Если функции  дифференцируемы в точке , то для производной сложной функции  одной переменной   справедлива формула

  или

 . (6.1)

 В частности, если t совпадает, например, с переменной , то   и “полная” производная функции и по   равна 

 . (6.2)

2°. Пусть  и, в свою очередь, , .

Теорема 9.6. Если функции  дифференцируемы в точке , а функция f дифференцируема в точке , то сложная функция m переменных  дифференцируема в точке N и справедливы формулы:

  , (6.3)

при этом частные производные функции u по  вычислены в точке М, а частные производные функций по  (l=1,2,…,m) вычислены в точке N.

 Выражение для дифференциала 1-го порядка сохраняет вид (5.4) (свойство инвариантности формы первого дифференциала).

Пример 8. Найти , если , где .

Ñ По формуле (6.1) имеем   . #

Пример 9. Найти производную функции .

Ñ Первый способ – применить логарифмическое дифференцирование, как делалось для функции одной переменной.

Второй способ. Функция u(t) есть результат образования сложной функции при подстановке в функцию  вместо x и y двух одинаковых функций переменой t:   . Тогда по формуле (6.1):  + получаем =
+ .
#

Пример 10. Найти  и , если , где y = sin2x.

Ñ Имеем . По формуле (6.2) получим = .#

Пример 11. Найти , если , где , .

Ñ - сложная функция от независимых переменных x и y. Тогда по формулам (6.3) получим: ;

,

,

.

Машиностроительное черчение выполнение четежей