Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Дифференцирование сложных и неявных функций

Сложные функции одной и нескольких переменных

1°. Пусть  и в свою очередь, .

Теорема 9.5. Если функции  дифференцируемы в точке , то для производной сложной функции  одной переменной   справедлива формула

  или

 . (6.1)

 В частности, если t совпадает, например, с переменной , то   и “полная” производная функции и по   равна 

 . (6.2)

2°. Пусть  и, в свою очередь, , .

Теорема 9.6. Если функции  дифференцируемы в точке , а функция f дифференцируема в точке , то сложная функция m переменных  дифференцируема в точке N и справедливы формулы:

  , (6.3)

при этом частные производные функции u по  вычислены в точке М, а частные производные функций по  (l=1,2,…,m) вычислены в точке N.

 Выражение для дифференциала 1-го порядка сохраняет вид (5.4) (свойство инвариантности формы первого дифференциала).

Пример 8. Найти , если , где .

Ñ По формуле (6.1) имеем   . #

Пример 9. Найти производную функции .

Ñ Первый способ – применить логарифмическое дифференцирование, как делалось для функции одной переменной.

Второй способ. Функция u(t) есть результат образования сложной функции при подстановке в функцию  вместо x и y двух одинаковых функций переменой t:   . Тогда по формуле (6.1):  + получаем =
+ .
#

Пример 10. Найти  и , если , где y = sin2x.

Ñ Имеем . По формуле (6.2) получим = .#

Пример 11. Найти , если , где , .

Ñ - сложная функция от независимых переменных x и y. Тогда по формулам (6.3) получим: ;

,

,

.

Машиностроительное черчение выполнение четежей