Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

 

Дифференцируемость функции. Дифференциал функции

1°. Полным приращением функции  в точке , соответствующим приращениям аргументов , называется разность
. (5.1)

2°.Функция f называется дифференцируемой в точке М, если существуют такие числа , что всюду в окрестности точки М полное приращение

функции можно представить в виде

,

где .

Теорема 9.3 (Необходимое условие дифференцируемости функции.) Если функция f дифференцируема во внутренней точке , то существуют частные производные

Теорема 9.4. (Достаточное условие дифференцируемости функции). Если частные производные  существуют и непрерывны во внутренней точке , то функция дифференцируема в М. Для дифференцируемой в точке М функции f полное приращение
 (5.2)

3°. Дифференциалом df первого порядка функции  в точке  называется главная часть полного приращения (5.2), линейная относительно :

 . (5.3)

Подставив в (5.2) , получим  

l = 1,2,…,n и  или . Тогда дифференциал функции f выражается через дифференциалы независимых переменных:

 . (5.4)

 Функции u и v нескольких переменных подчиняются обычным правилам дифференцирования:

 . (5.5)

4°.Дифференциалом 2-го порядка  функции  называется дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка, рассматриваемого как функция переменных  при фиксированных (т.е. постоянных) :

. Вообще, дифференциал m – го порядка функции f:

   (5.6)

 

Пример 5. Найти полное приращение и дифференциал функции  в точке .

Ñ По формуле (5.1)  =.

 Дифференциал df есть главная часть полного приращения, линейная относительно .#

Пример 6. Найти дифференциал функции .

Первый способ. По формуле (5.4): ,

.

Второй способ. Применяем правила дифференцирования (5.5):

+

. #

Пример 7. Найти дифференциалы 1-го, 2-го и 3-го порядков для функции .

Ñ По формуле (5.4): . По формуле (5.6) при m = 2 и m = 3, считая dx и dy постоянными, последовательно находим (смешанные частные производные не зависят от порядка дифференцирования):

=

#

Задачи для самостоятельного решения

Найти полное приращение и дифференциал функции z:

26. а) , если x изменяется от 2 до 2,1, а y – от 1 до 1,2.

 б) , если x изменяется от 2 до 2,1, а y – от 1 до 0,9.

Найти дифференциал функций:

27. . 28. . 29. .

30. Найти df(1,2,1), если .

Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков.

31. . 32. . 33. .

34. . 35. . 35. .

Машиностроительное черчение выполнение четежей