Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

Предел функции

 Пусть функция  определена на множестве D и точка .

1°. Число А называется пределом функции f(M) при стремлении точки   к точке  (или, другими словами, при , если для любого, сколь угодно малого положительного e найдется такая d- окрестность точки , что для любой точки M из этой окрестности выполняется  и обозначается . Этот предел не должен зависеть от способа (“пути”) стремления M к М0.
Используя логические символы   .Для функции двух переменных f (x,y)    .

2°. Функция f(M) называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при стремлении M к точке M0, если   . Практически, при вычислении  удобно задать проходящую через точки M и М0 линию в параметрической (или иной ) форме, сведя тем самым задачу к вычислению предела функции одной переменной по известным правилам и теоремам.

Пример 2. Вычислить пределы: а) , б)

Ñ а) Пусть точка M(x,y) из окрестности точки M0(0,0) стремится к точке М0 по прямой y=kx ( проходящей через точки М0 и М). Тогда из  следует  и . Пределы получаются разными при различных “k” и не существует числа A, к которому значения  становились бы сколь угодно близки, как только точка M(x,y) оказывается в достаточной близости от точки M0(0,0). Предел данной функции при M®M0(0,0) не существует.

б) =½находим предел вдоль луча y=kx (k>0, ) при x®¥½=½применим правило Лопиталя два раза½=

 – предел существует и равен нулю. #

Задачи для самостоятельного решения

 Вычислить пределы функций, полагая, что независимые переменные произвольно стремятся к своим предельным значениям.

9.  10.  11.  
12.  13.

 

 

9.3. Непрерывность функции

 1°. Функция f(M) называется непрерывной в точке , если выполнены условия : 1) f(M) определена в точке M0 ; 2) существует ;

3) .

 2°. Функция f(M) называется непрерывной в области U , если она непрерывна в каждой точке области U.

 3° . Если в точке M0 нарушено хотя бы одно из условий 1) – 3) непрерывности функции в точке, то M0 называется точкой разрыва функции f(M). Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва и т.д.

 Теорема 9.1 (Вейерштрасса). Если множество U, принадлежащее области определения функции f, является замкнутым и ограниченным, а функция f непрерывна на U, то f достигает на U своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. существуют такие точки  и , что для любой точки  выполняется неравенство

Пример 3. Найти точки разрыва функций: а)

б)

 Ñ а) Область существования функции  есть множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют условию  или - внутренность круга радиуса  с центром в точке O (0;0). Функция  не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. , отсюда  или . Таким образом, функция z(x,y) разрывна на окружности  .

б) Функция u(x,y,z) не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль. Поэтому в пространстве Oxyz точки разрыва  функции образуют поверхность – конус. #

Задачи для самостоятельного решения

Найти точки разрыва функций двух переменных:

14.  15.  16.

Найти точки разрыва функций трех переменных:

17.  18.

19*. Исследовать непрерывность функции при x = 0, y = 0:

 1) . 2) .

 3) .

Машиностроительное черчение выполнение четежей