Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

Дивергенция векторного поля

 Интегральные характеристики – поток и линейный интеграл – характеризуют векторное поле “в целом”. Количественную характеристику поля в каждой точке дают, вводимые ниже, дифференциальные характеристики. Введем понятие дивергенции.

Окружим произвольную точку M поверхностью (S) произвольной формы (например, сферой достаточно малого радиуса). Пусть (V) – объем, заключенный внутри поверхности (S).

Определение. Конечный предел отношения потока поля через поверхность (S) к объему, заключенному внутри нее при стягивании поверхности к точке M и стремлении объема V к нулю называется дивергенцией векторного поля  в точке M:

   (1.10¢)

Замечание. Определение (1.10) есть инвариантное (не зависящее от системы координат) определение дивергенции.

 Дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощность потока векторного поля, “исходящего” из точки M, то есть мощность источника (при ), или стока (при ), находящегося в точке M.

 В декартовой системе координат дивергенция вычисляется по формуле

 .  (1.10)

Свойства дивергенции. Пусть и - векторные поля,  - скалярная функция. Тогда:

 1) ; 2) . (1.11)

С учетом формулы (1.10) перепишем формулу Гаусса-Остроградского (1.6)

   (1.12)

- поток векторного поля  через замкнутую поверхность (S) равен тройному интегралу по объему (V), заключенному внутри этой поверхности от дивергенции поля.

Пример 1. Вычислить .

Решение. .

Пример 2. Вычислить , где u(M) – скалярная функция,  - векторная функция.

Решение. По формуле (1.10) находим:  .

Пример 3. Используя теорему Гаусса-Остроградского (1.12), найти поток векторного поля  через всю поверхность (S) тела (V):

 в направлении внешней нормали.

Решение. Имеем . Поэтому  =. Для вычисления тройного интеграла перейдем к цилиндрическим координатам. Уравнение поверхности примет вид , =.

 

 

Машиностроительное черчение выполнение четежей