Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач типового расчета

 

Потенциальное векторное поле и его потенциал

Векторное поле  называется потенциальным, если существует такая скалярная функция U(x, y, z), что . Функция U называется потенциалом векторного поля .

Из определения следует, что потенциальное векторное поле – это поле градиентов некоторого скалярного поля U(M) = U(x, y, z).

Пусть векторное поле  задано в некоторой области V.

Область V называется односвязной, если любой замкнутый контур (кривую), лежащий в ней, можно путем непрерывной деформации стянуть в точку, не выходя за пределы данной области. Для плоской области D односвязность означает, что для любого замкнутого контура, лежащего в ней, ограниченная этим контуром часть области целиком принадлежит D.

Потенциальность векторного поля, заданного в односвязной области V, определяется при помощи его ротора: если во всех точках области V ротор векторного поля   – нулевой вектор, то это векторное поле является потенциальным.

Важное свойство потенциальных полей заключается в том, что если  – потенциальное векторное поле, заданное в некоторой односвязной области V, то выражение

 является полным дифференциалом функции U(x, y, z). В этом случае криволинейный интеграл вида

вдоль любой кривой ВС, принадлежащей V, не зависит от формы кривой и равен разности потенциалов в конечной и начальной точках:

.

Это свойство можно использовать для нахождения потенциала векторного поля при помощи криволинейного интеграла II рода. Для этого нужно взять фиксированную точку В(x0, y0, z0) и произвольную (текущую) точку С(x, y, z) и вычислить криволинейный интеграл по пути ВС:

.

При этом получаем потенциал U(x, y, z) векторного поля  с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

 В качестве пути интегрирования ВС обычно выбирают ломаную ВEKC (рис. 8), звенья которой параллельны осям координат и E(x, y0, z0), K(x, y, z0).

В этом случае потенциал U(x, y, z) находят по формуле:

. (20)

Если в односвязной области задано потенциальное векторное поле силы

,

то с помощью потенциала можно найти работу силы  при перемещении единичной массы из одной заданной точки M этой области в другую точку N как разность значений потенциалов в этих точках:

. (21)

Машиностроительное черчение выполнение четежей