Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

Поверхностные интегралы второго рода (ПИ-2)

  Пусть : 1) в точках двусторонней гладкой (или кусочно- гладкой) поверхности s задана ограниченная функция ; 2) выбрана положительная сторона поверхности; 3) - разбиение s на n частей  с площадями  и диаметрами ; 4) - произвольный набор точек;
5) - проекция элемента  на плоскость  (проекция определенной стороны поверхности связана со знаком “+” или “–“ ); 6) - интегральная сумма, соответствующая данному разбиению и выбору точек.

Определение. Конечный предел  при называется поверхностным интегралом второго рода от   по определенной стороне поверхности s :

 

(здесь  напоминает о проекции  на  и содержит знак).

 При проецировании ориентированной поверхности s на плоскости  и  получаем ПИ-2: 

  .

Вычисление ПИ-2. Теорема 14.11. Пусть ориентированная гладкая поверхность  задана явно. Тогда

а) если , то ;

б) если , то ; (6.5)

в) если , то .

Связь между ПИ-1 и ПИ-2. Теорема 14.12. Если s - гладкая двусторонняя поверхность, ориентация s характеризуется нормалью  = - функции, определенные и непрерывные на s, то

  . (6.6)

 Связь между ПИ-2 и тройным интегралом (формула Гаусса – Остроградского). Теорема 14.13. Пусть функции - непрерывные вместе со своими частными производными (первого порядка) в некоторой пространственной области V, ограниченной гладкой замкнутой поверхностью s с положительной внешней стороной. Справедлива формула

 .

Замечание. О приложениях ПИ-2 смотри в разделе “Элементы теории поля”.

Пример 25. Вычислить ПИ-2: , где - положительная (внешняя) сторона сферы.

Рис.14.28

 
Ñ Для вычисления ПИ-2 замкнутую поверхность необходимо разбить на с уравнением  и с уравнением (рис.14.28). Тогда на основании (6.2) положительная сторона поверхности характеризуется нормальным вектором ,

 

ибо угол между и положительным направлением Oz, т.е. (,ÙOz), – острый, а положительная сторона поверхностности - вектором , ибо угол (,ÙOz)- тупой. Проекция каждой из поверхностей и есть область - круг радиуса R с центром в начале координат. Поэтому  по формуле (6.5) + =½переходим к полярным координатам :  

 , ½= = = =½двойной интеграл “расщепился” в произведение определенных интегралов½=;

=

=; .

Итак, . #

Пример 26. Вычислить ПИ-2 общего вида: , где  - внешняя сторона конической поверхности , ограниченной плоскостью z =2.

ÑВнешняя сторона поверхности характеризуется нормальным вектором, который составляет тупой угол с положительным направлением оси Oz (рис.14.29),

Рис.14.29

 
а потому , = .

Тогда ,.

Данный ПИ-2 можно вычислять по разному. Первый способ – вычислять три ПИ-2, составляющих данный поверхностный интеграл. Второй способ – использовать связь ПИ-2 с ПИ-1, что и сделаем. По формуле (6.6)

=

Рис.14.29

 
=. Последний поверхностный интеграл есть ПИ-1. Проекция  на плоскость Oxy есть область - круг радиуса 2 с центром в начале координат. Так как , то по формуле (6.3) (или (6.4)) =½переходим к полярным координатам  ½=

== = = .#

 

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить следующие поверхностные интегралы второго рода:

130. , где s - положительная сторона куба, составленного плоскостями .

131. , где s - положительная сторона нижней половины сферы .

132. , где s - внешняя сторона эллипсоида .

133. , где s - внешняя сторона пирамиды, составленной плоскостями .

Применяя формулу Гаусса – Остроградского, преобразовать следующие поверхностные интегралы, если гладкая поверхность s ограничивает конечную область (тело) V и , ,  - направляющие косинусы внешней нормали к s:

134. . 135. .

136. .

137. .

138. , где s - внешняя сторона поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из параболоида , цилиндра и координатных плоскостей.

139. Вычислить интегралы 132, 133, применяя формулу Гаусса – Остроградского.

Машиностроительное черчение выполнение четежей