Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Поверхностные интегралы второго рода (ПИ-2)

  Пусть : 1) в точках двусторонней гладкой (или кусочно- гладкой) поверхности s задана ограниченная функция ; 2) выбрана положительная сторона поверхности; 3) - разбиение s на n частей  с площадями  и диаметрами ; 4) - произвольный набор точек;
5) - проекция элемента  на плоскость  (проекция определенной стороны поверхности связана со знаком “+” или “–“ ); 6) - интегральная сумма, соответствующая данному разбиению и выбору точек.

Определение. Конечный предел  при называется поверхностным интегралом второго рода от   по определенной стороне поверхности s :

 

(здесь  напоминает о проекции  на  и содержит знак).

 При проецировании ориентированной поверхности s на плоскости  и  получаем ПИ-2: 

  .

Вычисление ПИ-2. Теорема 14.11. Пусть ориентированная гладкая поверхность  задана явно. Тогда

а) если , то ;

б) если , то ; (6.5)

в) если , то .

Связь между ПИ-1 и ПИ-2. Теорема 14.12. Если s - гладкая двусторонняя поверхность, ориентация s характеризуется нормалью  = - функции, определенные и непрерывные на s, то

  . (6.6)

 Связь между ПИ-2 и тройным интегралом (формула Гаусса – Остроградского). Теорема 14.13. Пусть функции - непрерывные вместе со своими частными производными (первого порядка) в некоторой пространственной области V, ограниченной гладкой замкнутой поверхностью s с положительной внешней стороной. Справедлива формула

 .

Замечание. О приложениях ПИ-2 смотри в разделе “Элементы теории поля”.

Пример 25. Вычислить ПИ-2: , где - положительная (внешняя) сторона сферы.

Рис.14.28

 
Ñ Для вычисления ПИ-2 замкнутую поверхность необходимо разбить на с уравнением  и с уравнением (рис.14.28). Тогда на основании (6.2) положительная сторона поверхности характеризуется нормальным вектором ,

 

ибо угол между и положительным направлением Oz, т.е. (,ÙOz), – острый, а положительная сторона поверхностности - вектором , ибо угол (,ÙOz)- тупой. Проекция каждой из поверхностей и есть область - круг радиуса R с центром в начале координат. Поэтому  по формуле (6.5) + =½переходим к полярным координатам :  

 , ½= = = =½двойной интеграл “расщепился” в произведение определенных интегралов½=;

=

=; .

Итак, . #

Пример 26. Вычислить ПИ-2 общего вида: , где  - внешняя сторона конической поверхности , ограниченной плоскостью z =2.

ÑВнешняя сторона поверхности характеризуется нормальным вектором, который составляет тупой угол с положительным направлением оси Oz (рис.14.29),

Рис.14.29

 
а потому , = .

Тогда ,.

Данный ПИ-2 можно вычислять по разному. Первый способ – вычислять три ПИ-2, составляющих данный поверхностный интеграл. Второй способ – использовать связь ПИ-2 с ПИ-1, что и сделаем. По формуле (6.6)

=

Рис.14.29

 
=. Последний поверхностный интеграл есть ПИ-1. Проекция  на плоскость Oxy есть область - круг радиуса 2 с центром в начале координат. Так как , то по формуле (6.3) (или (6.4)) =½переходим к полярным координатам  ½=

== = = .#

 

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить следующие поверхностные интегралы второго рода:

130. , где s - положительная сторона куба, составленного плоскостями .

131. , где s - положительная сторона нижней половины сферы .

132. , где s - внешняя сторона эллипсоида .

133. , где s - внешняя сторона пирамиды, составленной плоскостями .

Применяя формулу Гаусса – Остроградского, преобразовать следующие поверхностные интегралы, если гладкая поверхность s ограничивает конечную область (тело) V и , ,  - направляющие косинусы внешней нормали к s:

134. . 135. .

136. .

137. .

138. , где s - внешняя сторона поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из параболоида , цилиндра и координатных плоскостей.

139. Вычислить интегралы 132, 133, применяя формулу Гаусса – Остроградского.

Машиностроительное черчение выполнение четежей