Системы автоматизированного проектирования (САПР)

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

ОСНОВНЫ ИМИТАЦИОННОГО (компьютерного) МОДЕЛИРОВАНИЯ

Основные понятия

Существенное отличие использования модели вместо теории состоит в том, что наличие «дополнительности» и «множественности» проявления и объяснения не рассматривается как катастрофа или крах сложившейся теории и системы взглядов, а принимается как очередная ступенька на лестнице, ведущей к истине. Для правильного понимания таких основных системных понятий, как "субъект", "объект", "модель" и "среда", следует всегда иметь ввиду их возможные взаимодействия, как показано на Ошибка! Источник ссылки не найден.. Приведем несколько определений, каждое из которых отражает отдельные грани понятия "модель".

Моделирование – форма человеческой деятельности, направленная на построение, использование и совершенствование моделей.

Модель – некоторое вспомогательное средство, объект, который в определенной ситуации заменяет другой объект.

Модель является представлением объекта, системы или понятия (идеи) в некоторой форме, отличной от их реального существования.

Модель есть способ существования знаний. Знания выражаются на каком‑то языке, а язык есть знаковая модель некоторой предметной области.

Примеры выполнения заданий контрольной работы

Модель – это некий объект-заменитель, который в определенных условиях и с определенной целью может заменять объект-оригинал, воспроизводя интересующие нас свойства и характеристики оригинала, причем имеет существенные преимущества и удобства.

Модель (реляционная система) M = <A, R>, где A – базовое множество; R = {r1, r2, ...} – множество отношений (произвольной арности) на A.

Цель – это образ желаемого будущего, то есть модель состояния, на реализацию которого направлена деятельность.

Рис. 4.1. Отношение между Средой, Субъектом, Объектом и Моделью.
(Модель модели)

Развитие понятия модели

(Исторически и, по сути, в направлении возрастания уровня абстрактности)

1) Модель – это обязательно объект.

2) Модель – это объект искусственного происхождения с элементами условности (чертежи, карты, схемы).

3) Модель – это абстрактная математическая структура.

4) Модель – абстрактные представления любых знаний и представлений о мире.

Модели и их классификация

Функции, которые может выполнять модель:

1. Осмысление действительности (модель – форма представления знаний).

2. Как средство общения (язык – модель).

3. Как средство обучения и тренажа.

4. Как средство прогнозирования.

5. Как средство постановки экспериментов и т.д.

Основные виды моделей

Познавательные – прагматические

Познавательная модель рассматривается как форма организации и представления знаний, средство соединения новых знаний с имеющимися (отражает существующее).

Прагматическая модель играет нормативную роль, роль образца, стандарта в созидательной деятельности (отражает желаемое). Например: образец выпускаемого изделия, фотомодель.

Статические – динамические 

Динамическая модель – отражает процессы изменения состояний системы, то есть функционирование во времени.

Статическая модель – мгновенный «срез» (состав, структура).

Абстрактные – конкретные (материальные): по способу воплощения

Абстрактные (идеальные) – идеальные конструкции, построенные средствами мышления, сознания.

Материальные (реальные, вещественные) – в качестве модели выступает реальный объект.

Спектр моделей по уровню абстрактности:

╓─ Абстрактные (идеи)

╟─ Математические

╟─ Знаковые

╟─ Компьютерные модели

╟─ Деловые игры

╟─ Аналоговые

╟─ Масштабные

╟─ Натурные

╙─ Сам объект–оригинал

Основные виды соответствия (подобия) модели и оригинала: прямое, косвенное и условное

Прямое подобие (Рис. 4.2) –  фотографии, масштабные модели (кораблей, самолетов), макеты (зданий, сооружений), шаблоны, выкройки.

Рис. 4.2.  Прямое подобие

Косвенное подобие (аналогии) (Рис. 4.3)– полное совпадение или близость абстрактных моделей двух объектов: объекта-модели и объекта-оригинала.

Пример: электрический ток – магнитный поток – тепловой поток – поток жидкости (все они имеют одну и ту же математическую модель непрерывного потока).

Рис. 4.3. Косвенное подобие

Условное подобие (кодирование) (Рис. 4.4) –  соотношение на основе договорённости. Характерно для знаковых систем.

Пример: деньги (модель стоимости), карты, чертежи, удостоверение личности (модель владельца).

Рис. 4.4. Условное подобие

Напомним основные теории, которые ассоциируются с условным подобием моделей

Теория знаковых систем (семиотика). Изучает три типа отношений:

Синтаксис (отношение между знаками и конструкциями из них) – правила составления сложных конструкций из простых: слов из букв алфавита, предложений, фраз, текстов...

Семантика (отношение знак – смысл) – отношение между смыслом и правильными знаковыми конструкциями языка.

Прагматика (отношение между знаками и теми, кто их использует) – воспринятый смысл знаков, связь с действиями (реальностью).

Теория сигналов – изучает способы построения сигналов с заданными свойствами и способы их преобразования.

Теория кодирования – изучает свойства кодов и правила (алгоритмы) кодирования-декодирования. Рассматриваются два разных класса кодов: эффективные и помехоустойчивые.

Эффективные коды – обладают минимальной информационной избыточностью.

Помехоустойчивые коды – обладают способностью обнаруживать и исправлять ошибки.

Имитационное моделирование и его этапы

Термин имитационное моделирование используется во многих ситуациях, однако в сфере компьютерного моделирования он имеет вполне конкретный смысл, который, однако трудно определить одной фразой. Часть возможной двусмысленности проистекает из особенностей перевода текстов с английского на русский и наоборот, обусловленными некорректностью перевода слово‑в‑слово: далеко не все слова в разных языках имеют смысловые поля строго соответствующие друг другу.

В сфере компьютерного моделирования русскому термину имитационное моделирование соответствует английский термин simulation, в то время как более общему термину моделирование в английском соответствует modelling. При переводах эти различия могут передаваться не только дословной подстановкой терминов, но и более сложными конструкциями. Например, название книги [46] Ф. Мартина "Моделирование на вычислительных машинах" в оригинале имеет вид: "Computer modelling and simulation". Перевод слово‑в‑слово: "Компьютерное моделирование и симуляция" представляется более полным и точным. С другой стороны, простая калька от "simulation" - симуляция (симулятор) имеет более узкий смысл, ранее ассоциировавшийся с медициной, а ныне – чаще с компьютерными играми. Поэтому дословный перевод невольно "нагружается" дополнительным смысловым оттенком, которого в оригинале нет. Об этом следует помнить.

Исторически первыми смыслом термина имитационное моделирование было моделирование на основе метода Монте-Карло (или метода статистических испытаний).

В настоящее время фактический смысл термина имитационное моделирование значительно расширился и с ним обычно связывают методологию изучения сложных систем на базе моделирования (как правило, компьютерного). Более точно под этим подразумевается экспериментальное (на модели) изучение макроповедения системы исходя из известного микро-поведения ее элементов. При этом метод Монте-Карло является довольно характерным подходом к проведению таких "модельных" или "вычислительных" экспериментов, но далеко не единственным.

В отличие от общего математического моделирования (описания) объектов и явлений имитационное моделирование имеет смысл и дает наибольший эффект тогда, когда мы умеем решать прямую задачу, но не знаем, как достаточно просто и эффективно решать обратную за дачу. Именно такая ситуация весьма характерна для задач оптимального проектирования, многокритериальной оптимизации, принятия решений, прогнозирования и т.п.

Некоторые примеры:

Задана функция F(x), но в такой форме, что мы легко можем найти для конкретного x его образ x → F(x), но общего аналитического описания не имеем. Это бывает, если F(x) получается в виде результатов эксперимента, задана в виде таблицы или в виде алгоритма ее вычисления. Требуется найти корни (минимумы, максимумы).

Известен алгоритм (правило) обслуживания очереди и вероятностные характеристики потока заявок на входе. Нужно найти вероятностные характеристики очереди (среднюю длину, среднее время обслуживания, вероятность потери заявок, переполнения ...). Это - стандартная задача теории массового обслуживания.

Известны характеристики надежности элементов системы, структурная схема надежности. Нужно найти характеристики надежности всей системы.

Известны метрологические характеристики элементов измерительной системы и ее структурная схема. Нужно найти метрологические характеристики всей системы (прямая задача анализа погрешностей).

Известна модель измерительной системы с точки зрения прохождения сигнала со входа на выход. Найти сочетание управляемых параметров, обеспечивающих наилучшее значение заданного критерия эффективности (обратная задача).

 

Этапы имитационного моделирования

Необходимо подчеркнуть, что само имитационное моделирование как познавательный процесс отнюдь не исчерпывается простым прогоном модели или экспериментированием с ней. Чтобы полностью оправдать свое предназначение прогон модели должен быть системно включен составной часть в более общий процесс.

Ниже мы приводим основные этапы общего процесса имитационного моделирования согласно основополагающей книге Р. Шеннона[47]. Довольно обстоятельно этот вопрос рассмотрен также в [46].

Определение системы. (Постановка задачи - что нужно моделировать и с какой целью)

Формулирование модели (Переход от реальной системы к ее модели. Чаще всего через покомпонентное моделирование)

Проверка модели на адекватность.

а) в первом приближении (не дает ли абсурдных результатов);

б) проверка допущений;

в) проверка прохождения информации со входа на выход.

Стратегическое планирование. (Цель - уменьшение числа экспериментов за счет повышения их информативности).

Тактическое планирование.( Цель - оптимизация времени и точности отдельных экспериментов.)

а) за счет уменьшения времени переходных процессов;

б) за счет увеличения точности при сокращении объема выборки.

Экспериментирование. (Прогон модели)

Интерпретация. (Построение выводов по данным экспериментов, формулирование ответа задачи, поставленной в п.1).

Реализация результатов моделирования. (Внедрение)

Документирование.

Моделирование системного времени

Модель всей системы обычно представляется в виде структурной схемы, состоящей из модулей (моделей компонентов) и информационных связей (стрелок). С каждой стрелкой ассоциируется некоторая переменная, которая может принимать те или иные значения. Значение переменной присваивается в том модуле, из которого выходит связанная с ней стрелка. То есть для каждой переменной есть единственный модуль, в котором она генерируется или вырабатывается. Значение переменной может использоваться во многих модулях, а именно в тех, куда направлена соответствующая входящая стрелка.

Рис. 4.5. Фрагмент покомпонентной модели с явной "разводкой" переменной tM

Для динамических моделей одна переменная - время - является выделенной переменной, поскольку она используется во всех остальных модулях. Для ее реализации должен быть специальный модуль, который генерирует и подает в нужном формате во все остальные модули значение системного (модельного) времени tM (modeling time). Процесс моделирования также осуществляется во времени, но это уже другое время, назовем его временем прогона tR (run time).

В данном разделе пойдет речь реализации модельного времени tM.Ввиду очевидности использования переменной tM ее зачастую явно вообще не объявляют, а соответствующие линии со стрелками на схеме не показывают. Несмотря на интуитивную ясность проблема представления модельного времени существует и ее так или иначе приходится решать, по крайней мере на этапе составления компьютерной программы.

Существую два основных метода представления модельного времени:

МФШ - метод фиксированного шага;

МПШ - метод переменного шага.

МФШ - в этом случае временные метки (или значения времени в какой-то шкале, чаще в равномерной), соответствующие заранее определенным моментам времени, выдаются с помощью специального модуля - генератора времени - и распространяются по всем остальным динамическим модулям модели. При этом метки времени выдаются независимо от того, происходят или не происходят заданные события в модели.

Пример: представление сигналов в виде массивов отсчетов после равномерной дискретизации и обработка массивов путем последовательного их перебора (просмотра в цикле по номеру отсчета). Здесь модельное время представляется в виде tM=i·Δt, где i - номер временного шага, Δt - его длительность. Важно отметить, что в программе явно используется только "дискретное время" -, которое генерируется обычно с помощью оператора цикла (i используется в качестве счетчика циклов). Для перехода к "физическому" модельному времени необходимо знать величину Δt, которая явно в программе может отсутствовать, поскольку при обработке массивов отсчетов непосредственно не используется.

Достоинства МФШ:

1) простота реализации механизма времени в модели;

2) простота синхронизации прогона разных модулей.

Недостатки МФШ:

1) требуется априорно решать задачу выбора временного шага Δt;

2) возможна потеря существенной информации при большом Δt;

3) возможно качественное ухудшение модели (потеря устойчивости, сходимости, возникновение неадекватных эффектов и т.п.).

МПШ - здесь значения переменной tM (модельное время) вырабатывается одним из модулей в качестве выходной величины на основании величин, получаемых в ходе моделирования в других модулях. То есть в данном случае время есть зависимая величина. При этом временные метки выдаются только для тех моментов модельного времени, когда в модели происходят заданные существенные события.

Пример: в модели системы массового обслуживания время наступления очередного события (запроса) tMi моделируется с помощью генератора псевдослучайных чисел непосредственно в процессе моделирования.

Достоинства МПШ:

1) экономится память и процессорное время при моделировании существенно нерегулярных событий;

2) не требуется решать задачу априорного выбора шага Δt;

3) сохраняется инвариантность причинно-следственных связей в объекте и в модели.

 Недостатки МПШ:

1) нужно уметь находить время наступления очередного события в процессе моделирования (то есть, нужен алгоритм генерирования величины отрезка времени до следующего события);

2) применим в чистом виде только для моделирования систем с дискретными событиями.

Организация прогона многомодульных моделей

В данном разделе рассматривается реализация многомодульной модели с точки зрения времени прогона tR.

При интерпретации модели на ЭВМ одной из проблем является организация прогона (взаимной синхронизации) многомодульной модели на одном (или, реже, нескольких) процессорах. Суть этой проблемы в том, что модулей много, но в каждый момент времени может быть активизирован только один из них. Для активизации всех модулей, нужно установить некоторую последовательность, в которой это должно происходить. Фактически всю разветвленную сеть модулей и потоков информации между ними нужно отобразить в линейную цепочку последовательных вызовов и обменов. При этом важно понимать, что время прогона tR - это совершенно другая величина, нежели модельное время tM. Это облегчает преобразование последовательности вызовов к линейной цепочке, так как неактивные модули могу "подождать" столько, сколько нужно. Принципиальные трудности могут быть только в связи с наличием замкнутых петель обратной связи. Проблема взаимной синхронизации прогона отдельных модулей решается в некотором мониторном программном модуле, который в процессе моделирования осуществляет последовательный вызов (активизацию) отдельных подпрограмм (процедур), соответствующих отдельным модулям, и управляет обменом сигнальными массивами между ними. В простейших программах с жесткими связями между модулями взаимная синхронизация между ними осуществляется тем, в каком порядке будут записаны в тексте программы вызовы соответствующих процедур.

В решении проблемы прогона многомодульных моделей возможны два крайних подхода:

1. Последовательный прогон всех модулей на каждом шаге Δt. На каждом шаге Δt последовательно (порядок активизации - это отдельная проблема) активизируется каждый модуль, его модельное время продвигается ("оживляется") на один шаг, при этом в межмодульном обмене фактически участвуют одноэлементные (по времени) массивы. Другими словами, на каждом шаге Δt модули обмениваются по одному элементу из каждого сигнального массива. Весь интервал модельного времени последовательно покрывается путем многократного повторения таких элементарных шагов.

Достоинство: продвижение сигнальных массивов через модули осуществляется минимальными порциями (по одному элементу), что позволяет с максимальной точностью (при выбранном Δt) отследить распространение переходных процессов вдоль цепочки последовательно соединенных модулей. Это важно при наличии петель обратной связи.

Недостаток - большой объем вычислительных затрат на диспетчеризацию (переключение вызовов) модулей, так как эту работу приходится делать для каждого элементарного шага Δt.

2. Последовательный прогон всех модулей на всем интервале модельного времени tM. В отличие от предыдущего случая, здесь каждый модуль активизируется только по одному разу и для него прогоняются все шаги модельного времени (от начала до конца). После полного прогона одного модуля, активизируется следующий и т.д. При этом модули обмениваются сигнальными массивами, длина которых соответствует всему интервалу модельного времени.

Достоинство: минимизируются затраты машинного времени на диспетчеризацию модулей - за все время прогона многомодульной модели каждый модуль активизируется только по одному разу.

Недостаток - возникновение нежелательных эффектов в моделях с обратными связями. У некоторых модулей в качестве входов используются выходы других модулей, которые к этому времени еще не были активизированы (см., например, Рис. 4.5). Причем избежать такой коллизии нельзя при любом порядке активизации модулей.

Покадровая обработка многомодульных моделей

Итак, имеются две крайние возможности со взаимно противоречивыми достоинствами и недостатками. В тех случаях, когда требуется работать с многомодульными моделями с обратными связями и одновременно имеются жесткие ограничения на время прогона модели, можно попытаться отыскать некоторое "примиряющее" решение. В качестве хорошего компромисса можно предложить метод покадровой обработки.

Его суть состоит в том, что весь интервал модельного времени tM. разбивается на кадры обработки длиной TK. На каждом кадре осуществляется циклический прогон всех модулей, при этом обмен между модулями осуществляется отрезками массивов, соответствующих длине кадра TK. Весь процесс моделирования мыслится как прокрутка "фильма", состоящего из таких кадров. Варьируя в процессе конфигурирования модели величину TK, можно в каждом конкретном случае достигать нужного компромисса между временем прогона модели tR и влиянием паразитных эффектов из-за наличия петель обратной связи в структуре модели. Чтобы это было возможным алгоритмы всех модулей должны быть представлены в соответствующей "покадровой" форме, в которой длительность кадра TK входит в число настроечных параметров.

Для нединамических блоков (функциональных преобразователей, сумматоров, умножителей, масштабирующих звеньев и пр.) фактически никаких преобразований алгоритмов их работы для перехода к покадровой форме не требуется. Все решается на уровне обмена сигнальными массивами - просто их длина приводится в соответствие с заданной длительностью кадра обработки. TK. Для динамических блоков ситуация несколько сложнее. Связано это с тем, что реакция динамического блока в каждый момент времени t0 определяется не только состоянием входного воздействия в тот же момент t0, но и предысторией во все предшествующие моменты времени t < t0. Поэтому модель динамического блока в покадровой форме должна обеспечивать передачу необходимой информации (предыстории) с каждого текущего кадра на следующий (как эстафетную палочку). Следовательно, при переводе в покадровую форму модель (алгоритм) каждого динамического блока следует модифицировать таким образом, чтобы во‑первых, явно выделить минимальную информацию, подлежащую передаче на следующий кадр; во‑вторых, передать эту информацию с одного кадра на другой; и, в‑третьих, обеспечить правильное "сшивание" выходов, полученных на разных последовательных кадрах. Анализ показывает, что это можно сделать практически всегда, но требует определенных усилий на этапе алгоритмизации. Хорошей основой для такой модификации может служить представление исходных описаний динамических модулей в пространстве состояний. В этом случае возможен общий стандартный прием для представления алгоритма любого динамического блока в "покадровой" форме. Общая идея такого преобразования и конкретный пример ее реализации рассматривается в следующем подразделе при рассмотрении представления динамических систем в пространстве состояний.

Построение моделей элементов сложных систем

Напомним, что в основе имитационного моделирования сложных систем лежит представление общей модели в виде набора достаточно простых элементов (блоков, модулей), объединенных в общую структуру с помощью связей между ними. При этом задача построения модели разбивается на две: задача подходящего разбиения на отдельные модули и оптимизация связей между ними (синтез иерархической структуры модели) и задача реализации самих элементов (синтез моделей отдельных элементов). В данном подразделе мы коснемся второй из этих задач, то есть рассмотрим представление моделей отдельных элементов.

Каждый элемент в наиболее общем случае может быть представлен как некий преобразователь входа в выход (для генераторных модулей сигнальный вход может отсутствовать). Его модель должна осуществлять это преобразование с заданной точностью. По своей сути компьютерная модель суть знаковая система (алгоритм, записанный на языке программирования), поэтому мы должны предварительно описать требуемые преобразования в максимально абстрактной знаковой форме в виде некоторой математической модели, а затем перевести ее в алгоритм. Таким образом, возможные способы исходного описания элементов модели разумнее всего не изобретать заново, а отыскать наиболее пригодные среди уже имеющихся известных математических моделей. Современная математика накопила большое количество математических объектов, свойства многих из них обстоятельно исследованы многими поколениями математиков. Поэтому нам нужно только уметь быстро ориентироваться в накопленном "багаже" математических моделей и грамотно их применять.

Выбор подходящих математических объектов для представления моделей определяется различными факторами, среди которых важнейшими являются тип базовых множеств и характер учета причинно-следственных связей в системе. Использование только этих факторов разбивает общее поле возможных моделей на четыре "специализированные зоны", в каждой из которых имеются наработанные виды математических объектов, некоторые из которых приведены в Табл. 4.1.

Табл. 4.1. Наиболее общая классификация математических методов представления динамических систем

Тип множеств для переменных

Характер причинно‑следственных связей в системе

Детерминированные

Стохастические

Непрерывное

Система дифференциальных уравнений (СДУ), динамическая система

Системы массового обслуживания (СМО)

Дискретное

Конечные автоматы

Вероятностные автоматы

 

Динамическая система

В общем случае каждый элемент модели может рассматриваться как некий "черный ящик", осуществляющий преобразование входа в выход (Рис. 4.6). Для случая, когда и время и сама величина - непрерывны, а вход и выход являются непрерывными функциями вещественного аргумента, связь между ними может быть записана в операторной форме

.

Рис. 4.6. Внешнее представление динамической системы в виде "черного ящика"

Говоря о модели, мы как бы приоткрываем «черный ящик», ассоциируя модель с оператором Q, связывающим вход и выход. Следует подчеркнуть, что когда мы имеем в виду самый общий случай, действие оператора Q мыслится как преобразование функции x(t) в y(t) и при этом обе эти функции рассматриваются как неделимые объекты. Это означает, например, то, что значение выходной функции y(t) при некотором t = t0 может зависит от всех значений функции x(t) (при ), то есть более строго следовало бы записать y(t) = Q[{x(t)│ ¥£ t £¥.}, t].

В зависимости от дополнительных ограничений на вид и свойства оператора Q можно рассмотреть подмножества (классы) систем, для которых существует некоторое специальное представление этого оператора, позволяющее упростить его реализацию в модели.

Первое такое ограничение, которому очень часто удовлетворяет оператор Q –  это причинность (каузальность). Если переменная t ассоциируется с физическим временем, то условие причинности равносильно условию физической реализуемости. Смысл условия причинности состоит в том, что реакция системы в некоторый момент времени t = t0 должна определяться только предыдущими значениями входа x(t)│t<t0 (отклик не может начаться раньше воздействия). Для причинной системы y(t) = Q[{x(t)│ ¥£ t £ t}, t]. Для класса причинных систем важнейшим моментом является то, что все значения времени могут быть строго упорядочены с помощью отношения "больше" или "меньше", что отражается изображением времени в виде направленной числовой оси. Относительно любого момента времени t0 можно говорить о "прошлом" (для t < t0 ) "будущем" (для t > t0 ). Реакция системы в настоящем может зависеть только от значения входа в прошлом и не зависит от его значений в будущем. Именно это свойство лежит в основе представления причинных систем через пространство состояний.

Для представления систем широко используется модель на основе переменных состояния, которые ассоциируются с наличием памяти внутри системы. Модель на основе внутренних состояний (Рис. 4.7) имеет в общем случае вид

z(t) = F1[x(t)│t0£ t £t, z(t0)];

y(t) = F2[, x(t), z(t)],

где F1[·,·] – функция состояния, F2[·,·] – функция выхода, z(t) –  зависимость переменной состояния z от времени.

Могут быть другие эквивалентные (с точки зрения конечного результата) варианты, например, функция выходов F2[·,·] может зависеть только от переменной состояния и не зависеть от входа, то есть быть функцией только одного аргумента.

Рис. 4.7. Представление динамической системы в пространстве состояний

Для стационарных систем правомочно еще одно допущение: реакция системы зависит не от абсолютного времени, а только от сдвига по времени относительно текущего момента времени. В этом смысле стационарность эквивалентна свойству инвариантности относительно сдвига времени. Формально свойство инвариантности к сдвигу можно записать в следующем виде: если y(t) = Q[x(t)], то Q[x(t-t0)] = y(t-t0).

 

В случае, когда t, x, y, z принимают свои значения из конечных множеств, динамическая модель на основе переменных состояния соответствует модели конечного автомата. При использовании двоичного кодирования память конечного автомата – это набор бистабильных триггеров, а функции F1 и F2 – это комбинационные схемы.

Линейные динамические системы 

Особый класс динамических систем составляют линейные системы. Для всех линейных стационарных систем существует общий аналитический метод их описания и, следовательно, анализа, синтеза и реализации.

Система называется линейной, если для нее выполняется принцип линейной суперпозиции:

,

где ai – скаляры (коэффициенты).

Математическое описание линейных систем основано на использовании свойств линейных векторных пространств. При этом функции времени трактуются как векторы (точки) бесконечномерного векторного пространства (гильбертова пространства). Приведем эскиз этого подхода.

Если множество входов { xi(t) } образует линейное векторное пространство [25], то существует однозначное представление любой функции x(t) через базис:

где φi(t) – элементы базиса; ai – коэффициенты разложения (проекции) по элементам базиса.

В этом случае реакция линейной системы может быть представлена следующим образом:

где – реакция системы на i‑ю базисную функцию φi(t).

Отсюда видно, что реакция линейной системы на произвольное воздействие полностью и однозначно определяется набором реакций {hi(t)} системы на базисные функции {φi(t)} и коэффициентами {ai} разложения входного воздействия по этому же базису.

В области непрерывных линейных инвариантных к сдвигу систем особую роль играет разложение по базису {φ(τ,t)}, где φ(τ,t) = δ(t-τ) (дельта-функция Дирака), τÎR (R множество вещественных чисел). Имеет место представление через этот базис (в виде интегральной свертки):

где a(τ) = x(τ), поскольку разложение по базису {δ(t-τ)} совпадает с исходной функцией (фильтрующее свойство дельта‑функции).

Согласно свойству линейности

где h(t) = Q[δ(t)] – импульсный отклик (импульсная характеристика) линейной системы.

Обозначив через * –  операцию интегральной свертки, можно записать кратко:

Благодаря ряду полезных свойств преобразования Фурье (линейность, теорема о свертке) имеется отображение этого соотношения в частотную область, что лежит в основе спектрального метода анализа линейных систем, суть которого иллюстрируется диаграммой:

 

где H(ω) – частотная характеристика линейной системы,

H(ω) = F[h(t)]; Y(ω) = F[y(t)]; X(ω) = F[x(t)].

Вывод: Линейная стационарная (инвариантная к сдвигу) система полностью и вполне однозначно определяется импульсным откликом h(t) или соответствующей ему частотной характеристикой H(ω) = A(ω) exp(jφ(ω)), где A(ω) –  амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), jφ(ω) –  фазо-частотная характеристика (ФЧХ) линейной системы. Импульсная характеристика причинных систем обязательно равна нулю при t<0.

Пример: Рассмотрим простейшую дифференцирующую RC- цепочку (Рис. 4.8).

Рис. 4.8. RC-цепочка как пример простейшей линейной причинной динамической системы

Ее модель, представленная через переменную состояния, имеет вид

где x(t) = uвх(t) –  напряжение на входе;

  z(t) = uC(t) –  напряжение на емкости C;

 y(t) = uвых(t) –  напряжение на сопротивлении R.

Рис. 4.9. Импульсная h(t) и частотная H(w) характеристики RC‑цепочки

Импульсным откликом RC-цепочки является функция

а ее частотная характеристика описывается функцией

где – амплитудно-частотная характеристика;

– фазо-частотная характеристика.

Современный уровень техники обуславливает необходимость знания основ системы автоматизированного проектирования (САПР) на персональных компьютерах.

Преимущества САПР заключаются в возможности комплексного проектирования от технического предложения до получения твердых копий (чертежей), а также в использовании чертежей-файлов для технологической подготовки производства. Кроме, того, быстрый доступ к графической информации, возможность отображения на экране всего чертежа, его фрагмента, или того и другого вместе, позволяют создавать и редактировать с большой точностью и высоким качеством исполнения конструкторские чертежи.

Аппаратное и программное обеспечение

Исходя из задач САПР, Автокад работает не с изображением объектов, а с их геометрическим описанием, что и составляет техническое изображение объектов

Для запуска Автокада в зависимости от операционной системы необходимо выполнить следующее.

При запуске Автокада создается новый чертеж-файл без имени. Можно либо начать создавать объект в нем, либо загрузить уже имеющийся чертеж, при этом сохраняются все рабочие установки, заданные в ходе последнего сеанса работы с ним.

Настройка рабочей среды Автокада

Задание сетки и ее шага .

Системы координат В двухмерном пространстве задание точек производится в плоскости XY. Они могут вводиться как в декартовой, так и в полярной форме. В том и в другом случае координаты можно задавать в абсолютном и в относительном виде. Абсолютные координаты откладываются от начала координат, относительные — от последней точки.

Построение линий и направления (углов) Командная строка. МЛИНИЯ.

Построение прямоугольников Эта фигура строится по двум диагонально расположенным точкам прямоугольника

Построение окружности по центру и радиусу

Эллипсы в Автокаде по умолчанию строятся по началу и концу первой оси, а также по половине длины второй оси.

В библиотеке штриховок Автокада имеется более 50 различных ее видов

В Автокаде имеется средство быстрого и точного нахождения характерных точек объекта, таких, например, как конечная точка отрезка, середина отрезка или дуги, центр окружности и др.

Автокад обладает широкими возможностями отображения различных видов чертежа

Методы редактирования. Многие объекты чертежа в процессе проектирования нуждаются в изменении формы, размеров и расположения.

Копирование объектов. В Автокаде предусмотрена возможность однократного и многократного копирования объектов чертежа как внутри текущего файла, так и между различными файлами

Зеркальное отображение объектов

Прямоугольный массив

Масштабирование объектов

Обрезка линий в месте пересечения.

Сопряжение как плавное соединение двух объектов дугой заданного радиуса постоянно присутствует на всех чертежах. Автокад может сопрягать пары отрезков, линейные сегменты полилиний, прямые, лучи, окружности, дуги, эллипсы.

Назначение типа линии. При выполнении чертежа применяют тот или иной тип линий, имеющих различное начертание и толщину. ГОСТом предусмотрено 9 типов линий, каждый из которых имеет свое назначение. Слои в Автокаде можно представить как лежащие друг на друге прозрачные пленки с элементами чертежа.

Текст, являющийся примитивом Автокада, имеет определенный стиль, который задает шрифт, высоту, угол наклона, ориентацию и другие параметры.

Любой чертеж, будь то машиностроительный или строительный, должен иметь размеры

На этапе компоновки чертежа добавляется рамка и основная надпись (штамп).

Машиностроительное черчение выполнение четежей