Задача Коши Общее решение уравнения теплопроводности Оценка погрешности и точность вычислений Элементы линейной алгебры матрицы уравнение плоскости

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Вывод уравнения колебания струны В математической физике под струной понимают гибкую упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длиной l в начальный момент направлена по отрезку оси Ox от 0 до l.

В учебном пособии приводятся способы нахождения точных решений различных типов дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка и методы приближенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Каждый раздел пособия содержит теоретическое описание метода, образцы решения задач и набор задач для самостоятельного решения. Даются три типовых расчета: по методам решений дифференциальных уравнений с частными производными, а также по приближенным  и вариационным методам. Теоретические выкладки снабжены практическими примерами. 

Использование метода Фурье при решении первой краевой задачи

Метод Фурье для решения второй краевой задачи

Найти решение уравнения  при следующих условиях: . (Вторая краевая задача).

Уравнения параболического типа

Решение первой краевой задачи методом Фурье

Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной

Задача Коши

Найти решение уравнения (2) для бесконечной области  удовлетворяющее в области  начальным условиям (3), (4). Граничные условия отсутствуют.

Кроме того, могут быть поставлены смешанные краевые задачи, когда на разных концах заданы различные граничные условия или когда струна полубесконечная (только на одном конце задано граничное условие).

1.3. Решение задачи Коши. Формула Даламбера

Будем решать однородное волновое уравнение Градиент. Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке,

 (7)

для бесконечной струны, , , при начальных условиях (3), (4).

Введем новые переменные:

. (8)

Уравнение (7) с помощью замены (8) приводится к виду

. (9)

Общее решение уравнения (9) можно записать в виде

,

где Y1, Y2 – произвольные функции одной переменной, определим их из начальных условий. Переходя к прежним переменным, найдем

. (10)

При t=0 из начального условия (3) имеем

. (11)

Определим производную по t для решения (10):

и воспользуемся начальным условием (4):

. (12)

Выражение (12) проинтегрируем по x в пределах от 0 до x:

, (13)

где – постоянная величина.

Складывая и вычитая почленно (11) и (13), получим:

, (14)

. (15)

Выражения для Y1 и Y2 из (14) и (15) запишем для любого , вспоминая, что ,  , и подставим в искомое решение (10):

 

.

Преобразуем последнее выражение и получим формулу Даламбера 

, (16) 

где .

Итак, решение задачи Коши для волнового уравнения (7) выписывается в виде формулы (16).

Задача 13. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям 

 Решение. Общее решение  данного уравнения равно сумме общего решения  однородного уравнения и какого-либо частного решения  данного уравнения, то есть

 

Для нахождения  составим характеристическое уравнение ,имеющее комплексные корни  и . В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде

  (4)

Где   - комплексные корни характеристического уравнения. Подставив в (4)

 , имеем:

 .

Для нахождения частного решения  неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся следующей теоремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функции   и числа  не является корнями характеристического

Уравнения, то существует частное решение . Если же числа

Являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение

 Применяя эту теорему при имеем:

 .

Дважды дифференцируя последнее равенство, находим :

 

Подставив в данное уравнение  и , получим:

 ,

Откуда .

Следовательно,  и

 

Найдем 

 

Используя начальные условия, получим систему

,откуда

Следовательно,  есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.


Примеры решения типовых задач