Задача Коши Общее решение уравнения теплопроводности Оценка погрешности и точность вычислений Элементы линейной алгебры матрицы уравнение плоскости

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Распространение тепла в неограниченном стержне Пусть в начальный момент задана температура в различных сечениях неограниченного стержня. Требуется определить распределение температуры в стержне в последующие моменты времени. К задаче распространения тепла в неограниченном стержне сводятся физические задачи в том случае, когда стержень столь длинный, что температура во внутренних точках стержня в рассматриваемые моменты времени мало зависит от условий на концах стержня.

Примеры решения задач Найти решение уравнения , , , удовлетворяющее начальным условиям

Решить уравнение  для следующего начального распределения температуры стержня

Уравнения эллиптического типа

Потенциальное течение жидкости или газа. Уравнение неразрывности

Потенциал стационарного электрического тока Пусть в однородной среде, заполняющей некоторый объем V, проходит электрический ток, плотность которого в каждой точке дается вектором . Предположим, что плотность тока не зависит от времени t. Предположим далее, что в рассматриваемом объеме нет источников тока.

Задача Дирихле для круга

Найти стационарное распределение температуры на тонкой однородной круглой пластине радиусом R, верхняя половина которой поддерживается при температуре 1°, а нижняя – при температуре 0°.

Найти стационарное распределение температуры на однородной тонкой круглой пластинке радиусом R

Одним из аналитических методов приближенного решения дифференциальных уравнений является метод Пикара.

Построить последовательность пикаровских приближений решения дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Геометрический смысл метода Эйлера

Метод Фурье для решения второй краевой задачи

Общее решение уравнения теплопроводности (3) имеет вид (14). Коэффициенты l, С1, С2, С3 определим из граничных условий (6) и начального условия (4). Производная по x решения (14) имеет вид

 . (23)

Подставим (23) в граничные условия (6):

. (24)

Соотношение (24) выполняется для любого  при . Для второго условия

 . (25)

 Предполагая  (иначе получим тривиальное решение ), из равенства (25) имеем , или , где n = 1, 2, … . Итак, решение второй краевой задачи имеет вид

  при n = 0, 1, 2, … .

 Суммируя все решения при различных n, снова получим решение дифференциального уравнения (3), удовлетворяющее условиям (6): Исследовать на сходимость ряды

 , (26)

где . Коэффициенты  ряда (26) определим из начального условия (4):

. (27)

Соотношение (27) можно рассматривать как разложение в ряд Фурье периодической, четной на  функции  с коэффициентами , которые, как известно, определяются по формулам:

 (28)

Итак, решение второй краевой задачи нашли в виде ряда (26) с коэффициентами (28).

Указание 2

Частным приращением функции  по аргументу x называется приращение этой функции по x при постоянном y, . Аналогично, частным приращением функции  по аргументу y называется приращение этой функции по y при постоянном x, .

Частной производной функции  по аргументу x называется предел отношения частного приращения этой функции по x к приращению , когда последнее стремится к нулю. Обозначается  или . Таким образом .

Аналогично, частной производной функции  по аргументу y называется предел отношения частного приращения этой функции по y к приращению , когда последнее стремится к нулю. Обозначается  или ; .

Частная производная функции нескольких переменных по одному из аргументов определяется как производная этой функции по соответствующему аргументу при условии, что остальные переменные считаются постоянными.

Пример 1. Найти частные производные функции

Решение. При нахождении частной производной по x будем рассматривать y как величину постоянную. Тогда получим

.

Аналогично, рассматривая x как величину постоянную, найдем частную производную по y

.


Примеры решения типовых задач