Задача Коши Общее решение уравнения теплопроводности Оценка погрешности и точность вычислений Элементы линейной алгебры матрицы уравнение плоскости

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Методом Эйлера найти три значения функции y, определяемой уравнением , при начальном условии , полагая  .

Пример. Найти приближенные значения решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию  при . Значения решения определить при х = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка

Найти приближенные значения  и  решений системы уравнений

Метод итераций

Пример. Методом сеток найти решения задачи

Метод прогонки для уравнения теплопроводности

Решение уравнения движения грунта Пусть одномерное перемещение частиц пластически сжимаемого грунта происходит параллельно оси x

В данном разделе рассматриваются такие геометрические объекты, как линии, поверхности и т.п. Исследование этих объектов заменяется исследованием их координат, представленных в виде уравнений. В начале раздела приводятся необходимые сведения из векторной алгебры.

Базис и разложение векторов

Скалярное произведение векторов Углом между двумя векторами называется часть плоскости между их лучами, если вектора приложить к одной точке

Определители 2-го и 3-го порядка Таблица, составленная из четырех элементов, выстроенных в два ряда и два столбца: , называется квадратной матрицей второго порядка.

Оценка погрешности и точность вычислений

Оценить остаточный член метода Рунге-Кутта очень сложно, следует только отметить, что если  непрерывна и ограничена со своими производными до четвертого порядка и эти производные не очень велики, то с уменьшением шага сетки приближенное решение сходится к точному равномерно и остаточный член примерно равен .

Если ε – заданная точность вычислений, то в качестве начального шага нужно взять . Эффективная оценка погрешности метода Рунге-Кутта затруднительна. Поэтому для определения правильности выбора шага h на практике обычно применяют «двойной пересчет» на каждом этапе из двух шагов. А именно, исходя из текущего верного значения , вычисляют величину  двумя способами: один раз с шагом h, а другой – с двойным шагом H=2h. Если расхождение полученных значений не превышает допустимой погрешности, то шаг h для данного этапа выбран правильно и полученное с его помощью значение можно принять за . В противном случае шаг уменьшают в два раза.

Все промежуточные значения следует располагать в бланке расчета (табл. 3).

Таблица 3

i

x

y

Δy

1

2

3

4

i+1

Пример. Методом Рунге-Кутта найти на отрезке  решение дифференциального уравнения ;  с точностью .

Этапы решения:

Выбираем начальный шаг .

В промежуточных результатах сохраняем пять знаков после запятой, чтобы в результате получить четыре верных знака.

Результаты вычислений заносим в бланк расчета (см. табл. 3). Промежуточные вычисления заносим в табл. 4.

По найденным значениям , , …, как по координатам точек, строим ломаную – приближение интегральной кривой (рис. 7).

Порядок заполнения табл. 4:

Полагаем .

Записываем в первой строке таблицы данные значения , в нашем примере (0, 1).

Вычисляем , умножаем на h и заносим в таблицу в качестве , это же значение заносим в последний столбец таблицы.

Вычисляем во второй строке ; .

Вычисляем , умножаем на h и заносим в таблицу в качестве , а значение  заносим в последний столбец.

Записываем в третьей строке ; .

Вычисляем , умножаем на h и заносим в таблицу в качестве , а значение  заносим в последний столбец.

Записываем в четвертой строке ; .

Вычисляем , умножаем на h и заносим в таблицу в качестве  и в последний столбец.

Вычисляем сумму последнего столбца, делим на 6 и записываем в новой строке в качестве .

Вычисляем ,  и записываем в первую строку следующего шага.

Вычислив таким образом два шага, берем в качестве  и проделываем вновь пункты 2 –10.

Сравниваем y2, полученное при , и у, полученное при . Если они совпадут с точностью ε, то h можно оставить равным ; если нет, то в качестве h нужно взять  и проделать операции с 1 по 10 для того же значения x. Этапы решения оформляем в виде табл. 4.

Таблица 4

i

X

y

Δy

1

0

1

0,10000

0,10000

2

0,05

1,05

0,11000

0,22000

0

3

0,05

1,055

0,11050

0,22100

4

0,1

1,11050

0,12105

0,12105

0,11034

1

0

1,11034

0,12103

0,12103

2

0,15

1,17086

0,13209

0,26417

1

3

0,15

1,17637

0,13264

0,26526

4

0,2

1,24298

0,14430

0,14430

0,13246

0,2

1,24280

Проверка

1

0

1

0,20000

0,20000

Продолжение табл. 4

i

x

y

Δy

2

0,1

1,10000

0,24000

0,48000

3

0,1

1,12000

0,24400

0,48800

4

0,2

1,24400

0,28880

0,28880

0,24280

0,2

1,24280

Þ

1

0,2

1,24280

0,14428

0,14428

2

0,25

1,31494

0,15649

0,31299

2

3

0,25

1,32105

0,15710

0,31421

4

0,3

1,39990

0,16999

0,16999

0,15691

1

0,3

1,39971

0,16997

0,16997

2

0,35

1,48470

0,18347

0,36694

3

3

0,35

1,49144

0,18414

0,36829

4

0,4

1,58385

0,19838

0,19838

0,18394

0,4

1,58364

Проверка

1

0,2

1,24280

0,28856

0,28856

2

0,3

1,38708

0,33416

0,67483

3

0,3

1,41151

0,34230

0,68460

4

0,4

1,58510

0,39702

0,39702

0,34084

0,4

1,58364

Þ

1

0,4

1,58364

0,19836

0,19836

2

0,45

1,68382

0,21328

0,42656

4

3

0,45

1,69282

0,21403

0,42806

4

0,5

1,79767

0,22977

0,22977

0,21374

5

0,5

1,79743

Þ

Проверка

1

0,4

1,58364

0,09918

0,09918

2

0,425

1,63323

0,10291

0,20582

3

0,425

1,63510

0,10300

0,20600

4

0,45

1,68664

0,10683

0,10683

Окончание табл. 4

i

x

y

Δy

1,10297

1

0,45

1,68661

0,10683

0,10683

2

0,475

1,74002

0,11075

0,22150

3

0,475

1,74198

0,11085

0,22170

4

0,5

1,79746

0,11483

0,11487

0,11082

0,5

1,79743

Строим интегральную кривую по найденным значениям (табл. 5).

Таблица 5

x

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

y

1

1,11034

1,24280

1,39970

1,5836

1,7974

Пример. Решить уравнение .

;

Допустим, заданы некоторые начальные условия х0 и у0. Тогда:

Получаем частное решение

 


Примеры решения типовых задач