Задача Коши Общее решение уравнения теплопроводности Оценка погрешности и точность вычислений Элементы линейной алгебры матрицы уравнение плоскости

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Задача Найти , если  и , где , , угол . Решение: Для решения необходимо знать длину векторов, что нам неизвестно, но даны данные по базису, поэтому перейдем от исходных векторов к базисным, подставим в формулу  выражения разложения векторов по базису:

Элементы линейной алгебры Определители второго порядка

В учебном пособии приводятся способы нахождения точных решений различных типов дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка и методы приближенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Каждый раздел пособия содержит теоретическое описание метода, образцы решения задач и набор задач для самостоятельного решения. Даются три типовых расчета: по методам решений дифференциальных уравнений с частными производными, а также по приближенным и вариационным методам. Теоретические выкладки снабжены практическими примерами. 

Вычислить площадь параллелограмма, две стороны которого образованы векторами , , .

Аналитическая геометрия Уравнение линии Рассмотрим декартовую систему координат на плоскости.

Примеры решения типовых задач: прямая на плоскости Задача Составить общее уравнение прямой, проходящей через точки (1,2) и (-2,3).

Уравнение плоскости Пусть в декартовой системе координат имеется некоторая плоскость, проходящая через точку , ее радиус-вектор будет иметь координаты . Зададим на этой же плоскости точку  с радиус-вектором . Очевидно, что вектор  также будет находиться в заданной плоскости

Пример. Вычислить координаты вектора , если известны декартовы координаты:   и .

Решение: По формуле, выражающей векторное произведение через декартовы координаты имеем:  

. Задача 2. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит в плоскости xOy, а ось симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус основания R = 0,5, высота цилиндра H = 2 и функция плотности , где r – полярный радиус точки.

Ответ: координаты вектора .

Пример 1.9. Вычислить , если , .

Решение: Так как у векторов  и  третья координата не задана, то можно выразить векторное произведение через определитель 3-го рода, подставив вместо нее нули: .

Ответ: .

Примеры решения типовых задач: векторная алгебра

Задача 1.1.

Даны два вектора  и . Найти координаты вектора .

Решение: Из свойства 1 следует, что , следовательно: .

Ответ: .

Задача 1.2

Найти координаты вектора , соединяющего точку  с координатами  и точку  с координатами .

Решение: Обозначим координаты точки  как , координаты точки  как . Из свойства 2 следует: вектор  имеет координаты . Подставляем исходные значения: .

Ответ: .

Задача 1.3

Доказать, что два вектора  и  коллинеарны.

Решение: Из свойства 3 следует, что для решения необходимо проверить выполнение равенства: . Подставим заданные значения координат: , откуда: . Равенство верно.

Ответ: исходные вектора коллинеарны.

Задача 1.4

Задан вектор  и известно, что точка  имеет координаты . Найти координаты точки  – начала вектора.

Решение: Введем обозначения:  – координаты вектора ,  – координаты точки ,  – координаты точки .

Из свойства 2 следует, что для решения необходимо решить два уравнения: ; .

Подставим известные величины: ; ; откуда искомые координаты: ; . Ответ: точка  имеет координаты .

Пример. Решить уравнение

Разделим обе части уравнения на

Полагаем

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение. Рассмотрим соответствующее ему линейное однородное уравнение:

Полагаем C = C(x) и подставляем полученный результат в линейное неоднородное уравнение, с учетом того, что:

Получаем:

Применяя обратную подстановку, получаем окончательный ответ:


Примеры решения типовых задач