Задача Коши Общее решение уравнения теплопроводности Оценка погрешности и точность вычислений Элементы линейной алгебры матрицы уравнение плоскости

Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач

Решение систем линейных уравнений Определители используются при решении систем линейных уравнений. Произвольная система линейных уравнений имеет вид:

Матричный метод Пусть дано матричное уравнение: , где  и  - заданные матрицы, причем матрица  – невырожденная. Требуется найти матрицу .

Произвольная система линейных уравнений

Примеры решения типовых задач: системы линейных уравнений Задача. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Задание. Выполнить действия с матрицами: .

Вычислить определитель матрицы: . Решение. Преобразуем определитель так, чтобы в первой строке все элементы стали нулевыми, за исключением элемента, расположенного в первом столбце. Для этого умножим все элементы первого столбца на (-2) и сложим с соответствующими элементами второго столбца

Найти общее и одно из частных решений системы линейных уравнений: .

Для таблично заданной функции (xi, yi) = f(xi), i =0,...,6, решить следующие задачи (далее будем эту функцию обозначать f(x)).

Примеры решения типовых задач: матрицы

Задача 4.1.

Вычислить матрицу по правилу: , где ; ; .

Решение: По правилам выполнения арифметических операций, сначала выполняем операции, указанные в скобках. Найдем суммы матриц:

; .

Теперь найдем произведение полученных матриц:

. Ответ: .

Задача 4.2.

Вычислить матрицу , где

, .

Решение:

Вычислим вспомогательную матрицу :

Вычислим вспомогательную матрицу :

Вычислим матрицу .

. Ответ: .

Задача 4.3.

Вычислить определитель матрицы: .

Решение. Преобразуем определитель так, чтобы в первой строке остались нули, кроме элемента в первом столбце. Один нуль уже есть, получим еще два. Для этого умножим элементы первого столбца на (-1) и сложим с элементами третьего столбца. Затем умножим элементы первого столбца на (-2) и сложим с четвертым столбцом. При этом, естественно, элементы первого столбца перепишем без изменения:

{Раскладываем определитель по элементам первой строки}

{Продолжим преобразования определителя. Получим в первой строке нули, кроме элемента в первом столбце. Умножим элементы первого столбца на (-1) и сложим с элементами второго столбца. Затем умножим элементы первого столбца на (-2) и сложим с элементами третьего столбца. Разложим полученный определитель по элементам первой строки}

. Ответ: .

Задача 4.4. Вычислить обратную матрицу для .

Решение. 1) Вычислим определитель исходной матрицы, выполнив преобразования: умножим элементы первой строки на (-1) и сложим с элементами третьей строки. Затем разложим по элементам третьего столбца:

.

2) Транспонируем исходную матрицу .

3) Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента полученной матрицы:

; ; ; ; ; ;

; ; .

4) Запишем алгебраические дополнения в транспонированную матрицу вместо ее элементов. Разделив каждый элемент матрицы на определитель исходной, получим обратную:

.

Проверим выполнение условия :

. Ответ: .

Задача 4.5. Вычислить матрицу, обратную к матрице: .

Решение. Вычислим определитель матрицы: сложим элементы третьего столбца с элементами первого и разложим по элементам третьего столбца:

.

Определитель равен нулю, значит, матрица вырожденная и для нее обратной не существует.

Ответ: обратной матрицы не существует.

Задача 4.6. Вычислить ранг матрицы: .

Решение. Матрица имеет четыре столбца и три строки, поэтому ее ранг не может превышать: . Однако, она содержит нулевые столбцы: второй и четвертый, значит все ее подматрицы 3-го порядка также будут содержать нулевые столбцы, и их определитель будет равен нулю. Поэтому, отбросив все нулевые столбцы имеем: . Полученная матрица имеет три строки и два столбца, значит, . Обратим внимание на элементы столбцов: они пропорциональны, поэтому любые подматрицы 2-го порядка, выделяемые из данной, также будут иметь определители, равные нулю. Следовательно, данная матрица имеет ранг равный 1.

Ответ: .

Задача 4.7. Вычислить ранг матрицы: .

Решение. Поменяем местами первую и вторую строки, ранг матрицы от этого не изменится:

Преобразуем матрицу так, чтобы все элементы первого столбца, кроме  были равны нулю. Умножим все элементы первой строки на 2 и сложим с соответствующими элементами третьей строки. Затем сложим все элементы первой строки с соответствующими элементами третьей строки:

{Теперь добиваемся, чтобы все элементы второго столбца, кроме  и  были равны нулю. Умножаем все элементы второй строки на (-3) и складываем с соответствующими элементами третьей строки. Затем умножаем все элементы второй строки на (-3) и складываем с соответствующими элементами четвертой строки. Если в процессе преобразований получаются строки (или столбцы), целиком состоящие из нулей, то отбрасываем их} .

Последняя матрица содержит миноры второго порядка не равные нулю, например: , следовательно, .

Ответ: .

Решение линейных разностных уравнении с постоянными коэффициентами

Пусть дано уравнение:

(1)  

,

И соответствуюшее ему однородное уравнение

(2) 

Как уже отмечалось, общее решение уравнения (1) можно представить в виде

  где

- общее решение однородного уравнения (2);

- частное решение уравнения (1)

 Заметим, что справедливо так же теорема о суперпозиции решений; если

-решение уравнения

-решение уравнения

, то

- решение уравнения

Нахождение частного решения линейного неоднородного разностного уравнения n-го порядка по виду правой части.

(1) Известные числа

 b-известно

Вид частного решения :

-неизвестные коэффициенты

Сравним b с корнями характеристического уравнения:

если 

появляется множитель 

(2) 

коэффициенты многочленов b- известно  и 

- степени многочленов

Обозначим

частное решение имеет вид:

коэффициент многочленов степени «m» нам неизвестены коэффициенты

Если среди корней характеристического уравнения нет комплексных, то r=0.

Пусть среди корней есть комплексные крайности «r»

Найдем 

Запишем показательную формулу этого числа

 

Сравним два числа:

  и 

если , то r=0

если , то появится множитель

Пусть имеем некоторое линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка.

Сначала составим характеристическое уравнение для соответствующего однородного и найдем его корни

Корни 

1.  Запишем:  в=1, m=0 ( cстепень ногочлена)

если   , то

, то 

, то

2.   в=5; m=0

 1) если , то

 2) если , то

 3) если , то

3.

Запишем:   

 1) , то 

 2) , то 

4. 

 1) , то 

 2), то 

5. 

Запишем:  

1 Если то

 

 2)если 

  6.  

 1) если , то

 

  2)если 

 

Теперь рассмотрим решение конкретных примеров


Примеры решения типовых задач