Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

Криволинейные интегралы.

Криволинейные интегралы первого рода (КИ-1)

 Пусть: 1) в точках простой (без точек самопересечения), спрямляемой (т.е. имеющей длину) кривой l из пространства   определена ограниченная скалярная функция  2) - произвольное разбиение кривой l на элементарные дуги  с длинами ; 3) - произвольный набор точек; 4)- интегральная сумма, соответствующая данному разбиению кривой l и выбору точек .

Определение. Конечный предел интегральной суммы   при  , не зависящий ни от способа разбиения кривой l, ни от выбора точек , называется криволинейным интегралом первого рода от функции  по кривой l: .

Вычисление КИ-1. Теорема 14.6. Если кривая l задана параметрическими уравнениями: , где  - непрерывно дифференцируемые по t функции и возрастание длины L дуги кривой соответствует возрастанию t, то в предположении существования определенного интеграла имеет место равенство

 . (5.1)

Следствия.

а) Если плоская кривая l задана явно: , и , то

 . (5.2)

б) Если плоская кривая l задана в полярных координатах: , то

 . (5.3)

Некоторые приложения КИ-1

1. Масса материальной линии. Пусть , - линейная плотность массы материальной линии l. Тогда масса этой линии есть:

 .  (5.4)

2. Длина пространственной (или плоской) кривой l есть L: .

3. Статические моменты и координаты центра тяжести.

 а) Для плоской линии  c плотностью  и массой m статические моменты относительно координатных осей Oy и Ox: 

 ;

координаты центра тяжести:

 .

б) Для пространственной линии l c плотностью   и массой m статические моменты относительно плоскостей  и Oxy:

 ;

 координаты центра тяжести:

 .

Пример 17. Вычислить КИ-1: , где l – прямолинейный отрезок, соединяющий точки  и .

Ñ Уравнения отрезка прямой AB в параметрической форме:  или . Тогда  и из (5.1) имеем  .

Замечание. В случае явного задания отрезка прямой   следует воспользоваться формулой (5.2). #

Пример 18. Вычислить КИ-1: , где l – кривая, заданная уравнением  при условии .

Ñ Для построения кривой l преобразуем уравнение ее к виду ; таким образом, l есть полуокружность с центром в точке  радиуса 1, расположенная слева от оси Oy (рис. 14.22).

Наличие комбинации  в подынтегральной функции и в уравнении l наводит на мысль провести вычисления в полярных координатах, которые связаны с декартовыми координатами формулами . Тогда: из
Рис. 14.22  получаем  – уравнение l в полярных координатах; из рис. 14.22 (или условий , ,  следует: ; , = ==, и из (5.3)   .
#

Пример 19. Найти массу одного витка материальной винтовой линии , ,  (рис. 14.23), если линейная плотность в точке обратно пропорциональна квадрату расстояния этой точки от начала координат.

Ñ По условию задачи плотность +

 =, где k – коэффициент про-

L

 

Рис.14.23.

 
порциональности, . Для одного витка  . Из формул (5.4) и (5.1) имеем:  =  

 . #

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить криволинейные интегралы первого рода:

81. , где l – отрезок прямой , заключенный между точками  и .

82. , где l – контур прямоугольника с вершинами:   .

83. , где l – дуга параболы , отсеченная параболой .

84. , где l – первая арка циклоиды .

85. , где l- половина лемнискаты  .

86. , где l – часть спирали Архимеда , заключенная внутри круга радиуса R с центром в точке .

87. , где l – первый виток конической винтовой линии , .

88. , где l –четверть окружности , лежащая в первом октанте.

89. , где l – дуга гиперболы ,  .

90. , где l – дуга астроиды  в первом квадранте.

91. Найти массу первого витка винтовой линии , плотность которой в каждой точке равна полярному радиусу этой точки. 

92. Найти массу линии , , от точки, соответствующей t=0, до произвольной точки, если плотность в каждой точке обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса и в точке равна единице.

93. Найти массу дуги параболы , если линейная плотность в текущей точке равна .

Вычислить координаты центра тяжести дуги однородной кривой :

94. , от точки до точки .

95. .

96. .

Будем моделировать четырехпроводную трехфазную цепь