Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Криволинейные интегралы.

Криволинейные интегралы первого рода (КИ-1)

 Пусть: 1) в точках простой (без точек самопересечения), спрямляемой (т.е. имеющей длину) кривой l из пространства   определена ограниченная скалярная функция  2) - произвольное разбиение кривой l на элементарные дуги  с длинами ; 3) - произвольный набор точек; 4)- интегральная сумма, соответствующая данному разбиению кривой l и выбору точек .

Определение. Конечный предел интегральной суммы   при  , не зависящий ни от способа разбиения кривой l, ни от выбора точек , называется криволинейным интегралом первого рода от функции  по кривой l: .

Вычисление КИ-1. Теорема 14.6. Если кривая l задана параметрическими уравнениями: , где  - непрерывно дифференцируемые по t функции и возрастание длины L дуги кривой соответствует возрастанию t, то в предположении существования определенного интеграла имеет место равенство

 . (5.1)

Следствия.

а) Если плоская кривая l задана явно: , и , то

 . (5.2)

б) Если плоская кривая l задана в полярных координатах: , то

 . (5.3)

Некоторые приложения КИ-1

1. Масса материальной линии. Пусть , - линейная плотность массы материальной линии l. Тогда масса этой линии есть:

 .  (5.4)

2. Длина пространственной (или плоской) кривой l есть L: .

3. Статические моменты и координаты центра тяжести.

 а) Для плоской линии  c плотностью  и массой m статические моменты относительно координатных осей Oy и Ox: 

 ;

координаты центра тяжести:

 .

б) Для пространственной линии l c плотностью   и массой m статические моменты относительно плоскостей  и Oxy:

 ;

 координаты центра тяжести:

 .

Пример 17. Вычислить КИ-1: , где l – прямолинейный отрезок, соединяющий точки  и .

Ñ Уравнения отрезка прямой AB в параметрической форме:  или . Тогда  и из (5.1) имеем  .

Замечание. В случае явного задания отрезка прямой   следует воспользоваться формулой (5.2). #

Пример 18. Вычислить КИ-1: , где l – кривая, заданная уравнением  при условии .

Ñ Для построения кривой l преобразуем уравнение ее к виду ; таким образом, l есть полуокружность с центром в точке  радиуса 1, расположенная слева от оси Oy (рис. 14.22).

Наличие комбинации  в подынтегральной функции и в уравнении l наводит на мысль провести вычисления в полярных координатах, которые связаны с декартовыми координатами формулами . Тогда: из
Рис. 14.22  получаем  – уравнение l в полярных координатах; из рис. 14.22 (или условий , ,  следует: ; , = ==, и из (5.3)   .
#

Пример 19. Найти массу одного витка материальной винтовой линии , ,  (рис. 14.23), если линейная плотность в точке обратно пропорциональна квадрату расстояния этой точки от начала координат.

Ñ По условию задачи плотность +

 =, где k – коэффициент про-

L

 

Рис.14.23.

 
порциональности, . Для одного витка  . Из формул (5.4) и (5.1) имеем:  =  

 . #

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить криволинейные интегралы первого рода:

81. , где l – отрезок прямой , заключенный между точками  и .

82. , где l – контур прямоугольника с вершинами:   .

83. , где l – дуга параболы , отсеченная параболой .

84. , где l – первая арка циклоиды .

85. , где l- половина лемнискаты  .

86. , где l – часть спирали Архимеда , заключенная внутри круга радиуса R с центром в точке .

87. , где l – первый виток конической винтовой линии , .

88. , где l –четверть окружности , лежащая в первом октанте.

89. , где l – дуга гиперболы ,  .

90. , где l – дуга астроиды  в первом квадранте.

91. Найти массу первого витка винтовой линии , плотность которой в каждой точке равна полярному радиусу этой точки. 

92. Найти массу линии , , от точки, соответствующей t=0, до произвольной точки, если плотность в каждой точке обратно пропорциональна квадрату полярного радиуса и в точке равна единице.

93. Найти массу дуги параболы , если линейная плотность в текущей точке равна .

Вычислить координаты центра тяжести дуги однородной кривой :

94. , от точки до точки .

95. .

96. .

Будем моделировать четырехпроводную трехфазную цепь