Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

Криволинейные интегралы второго рода (КИ-2)

  Пусть : 1) в точках непрерывной кривой AB из пространства  определены ограниченные скалярные функции ;

2) - произвольное разбиение кривой AB на элементарные дуги с длинами   и проекциями , ,  на соответствующие оси координат; 3) - произвольный набор точек;

4) - интегральная сумма, соответствующая данному разбиению и данному выбору точек.

 Определение. Конечный предел интегральной суммы  при  , не зависящий ни от способа разбиения AB , ни от выбора точек , называется криволинейным интегралом второго рода от функций по пути AB: .

Механически КИ-2 представляет собой работу переменной силы , точка приложения которой описывает кривую AB.

Вычисление КИ-2. Теорема 14.7. Если линия AB задана в параметрической форме: , где - непрерывно дифференцируемые функции, и при изменении параметра t от к   кривая описывается именно от точки A к точке B, то 

 (5.5)

 

причем КИ-2 существует, если существует определенный интеграл.

Следствия.

а) Для плоской линии AB: и функций , : .

б) Для заданной явно плоской линии

  . (5.6)

 Независимость КИ-2 от пути интегрирования

 Теорема 14.8. Если функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в некоторой замкнутой ограниченной поверхностно односвязной области V, то равносильны следующие четыре утверждения:

1) , где l – замкнутый контур, лежащий внутри V;

2)  не зависит от выбора пути интегрирования;

3)  есть полный дифференциал некоторой однозначной функции , заданной в точках V;

4) выполняются равенства: .

 Функция может быть найдена, например, по формуле

 (5.7)

где - некоторая фиксированная точка области V, c – произвольная постоянная.

 Связь между КИ-1 и КИ-2. Пусть спрямляемая (не имеющая особых точек) линия AB имеет в каждой точке касательную, положительное направление которой составляет с осью координат углы . Тогда

 .

 Связь КИ-2 с двойным интегралом (формула Грина). Теорема 14.9. Пусть: 1) функции  непрерывны и имеют непрерывные частные производные в открытой односвязной области ; 2) l – кусочно-гладкий контур, ограничивающий область , и при положительном обходе l ближайшая часть области S находится слева от наблюдателя. Тогда справедлива формула:

.

 Площадь плоской области. Площадь s фигуры S, ограниченной простым кусочно-гладким контуром l, равна

.

 Пример 20. Вычислить КИ-2: , где L – дуга параболы , проходимая от точки  до точки .

Ñ Кривая l представлена на рис.14.24. 

Рис.14.24

 
 По формуле (5.6) имеем  = =. #

 Пример 21. Вычислить КИ-2: , где l – замкнутый контур, полученный пересечением сферы и цилиндра  , обходимый против часовой стрелки, если смотреть из начала координат (рис.14.25).

Рис.14.25

 
Ñ Для вычисления КИ-2 представим l в параметрической форме. Поверхность запишем в виде .Последнее равенство выполнится тождественно, если положить, например, , . Тогда из уравнения сферы имеем = = = =. Отсюда, помня, что  , имеем . Итак, ; , , . По формуле (5.5)  =

 

=.#

 Пример 22. Найти первообразную функции , если .

Ñ По формуле (5.7) при  получим

.#

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить криволинейные интегралы второго рода:

97. , где l – отрезок прямой  от точки пересечения ее с осью Ox до точки пересечения с осью Oy.

98. , где l – контур прямоугольника с вершинами  , указанными в порядке обхода l.

99.  вдоль линий: 1) , 2) , 3) , 4) .

100. , l – эллипс , обходимый в положительном направлении.

101. , где l – первая от начала координат арки циклоиды , .

102. , где l – отрезок прямой от точки (1;1;1) до точки (2;3;4).

103. , где l – дуга винтовой линии  .

104. , где l – линия пересечения сферы  и цилиндра  () , обходимая против часовой стрелки, если смотреть из начала координат (часть кривой Вивиани).

Убедиться, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, и вычислить КИ-2:

105. . 106. . 107.

108.  (контурное интегрирование не пересекает поверхность  .

Найти первообразную функцию и по полному дифференциалу:

109. .

110. .

111. .

112. .

113. . 114.

С помощью формулы Грина вычислить КИ-2:

115. , где l – окружность .

116. , где l – эллипс .

117. Вычислить , где l – простой замкнутый контур, пробегаемый в положительном направлении. Указание. Рассмотреть случаи: 1) начало координат находится вне контура l; 2) контур l окружает начало координат.

118. В каждой точке эллипса  приложена сила , равная по величине расстоянию от точки M до центра эллипса и направленная к центру эллипса. Найти работу при перемещении в положительном направлении: а) вдоль дуги эллипса в первом октанте; б) вдоль всего эллипса.

119. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки ее приложения от оси Oz , перпендикулярна к этой оси и направлена к ней. Найти работу этой силы по окружности  от точки  до точки . Указание. .

Будем моделировать четырехпроводную трехфазную цепь