Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Геометрическая оптика http://rembran.ru/

Криволинейные интегралы второго рода (КИ-2)

  Пусть : 1) в точках непрерывной кривой AB из пространства  определены ограниченные скалярные функции ;

2) - произвольное разбиение кривой AB на элементарные дуги с длинами   и проекциями , ,  на соответствующие оси координат; 3) - произвольный набор точек;

4) - интегральная сумма, соответствующая данному разбиению и данному выбору точек.

 Определение. Конечный предел интегральной суммы  при  , не зависящий ни от способа разбиения AB , ни от выбора точек , называется криволинейным интегралом второго рода от функций по пути AB: .

Механически КИ-2 представляет собой работу переменной силы , точка приложения которой описывает кривую AB.

Вычисление КИ-2. Теорема 14.7. Если линия AB задана в параметрической форме: , где - непрерывно дифференцируемые функции, и при изменении параметра t от к   кривая описывается именно от точки A к точке B, то 

 (5.5)

 

причем КИ-2 существует, если существует определенный интеграл.

Следствия.

а) Для плоской линии AB: и функций , : .

б) Для заданной явно плоской линии

  . (5.6)

 Независимость КИ-2 от пути интегрирования

 Теорема 14.8. Если функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в некоторой замкнутой ограниченной поверхностно односвязной области V, то равносильны следующие четыре утверждения:

1) , где l – замкнутый контур, лежащий внутри V;

2)  не зависит от выбора пути интегрирования;

3)  есть полный дифференциал некоторой однозначной функции , заданной в точках V;

4) выполняются равенства: .

 Функция может быть найдена, например, по формуле

 (5.7)

где - некоторая фиксированная точка области V, c – произвольная постоянная.

 Связь между КИ-1 и КИ-2. Пусть спрямляемая (не имеющая особых точек) линия AB имеет в каждой точке касательную, положительное направление которой составляет с осью координат углы . Тогда

 .

 Связь КИ-2 с двойным интегралом (формула Грина). Теорема 14.9. Пусть: 1) функции  непрерывны и имеют непрерывные частные производные в открытой односвязной области ; 2) l – кусочно-гладкий контур, ограничивающий область , и при положительном обходе l ближайшая часть области S находится слева от наблюдателя. Тогда справедлива формула:

.

 Площадь плоской области. Площадь s фигуры S, ограниченной простым кусочно-гладким контуром l, равна

.

 Пример 20. Вычислить КИ-2: , где L – дуга параболы , проходимая от точки  до точки .

Ñ Кривая l представлена на рис.14.24. 

Рис.14.24

 
 По формуле (5.6) имеем  = =. #

 Пример 21. Вычислить КИ-2: , где l – замкнутый контур, полученный пересечением сферы и цилиндра  , обходимый против часовой стрелки, если смотреть из начала координат (рис.14.25).

Рис.14.25

 
Ñ Для вычисления КИ-2 представим l в параметрической форме. Поверхность запишем в виде .Последнее равенство выполнится тождественно, если положить, например, , . Тогда из уравнения сферы имеем = = = =. Отсюда, помня, что  , имеем . Итак, ; , , . По формуле (5.5)  =

 

=.#

 Пример 22. Найти первообразную функции , если .

Ñ По формуле (5.7) при  получим

.#

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить криволинейные интегралы второго рода:

97. , где l – отрезок прямой  от точки пересечения ее с осью Ox до точки пересечения с осью Oy.

98. , где l – контур прямоугольника с вершинами  , указанными в порядке обхода l.

99.  вдоль линий: 1) , 2) , 3) , 4) .

100. , l – эллипс , обходимый в положительном направлении.

101. , где l – первая от начала координат арки циклоиды , .

102. , где l – отрезок прямой от точки (1;1;1) до точки (2;3;4).

103. , где l – дуга винтовой линии  .

104. , где l – линия пересечения сферы  и цилиндра  () , обходимая против часовой стрелки, если смотреть из начала координат (часть кривой Вивиани).

Убедиться, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, и вычислить КИ-2:

105. . 106. . 107.

108.  (контурное интегрирование не пересекает поверхность  .

Найти первообразную функцию и по полному дифференциалу:

109. .

110. .

111. .

112. .

113. . 114.

С помощью формулы Грина вычислить КИ-2:

115. , где l – окружность .

116. , где l – эллипс .

117. Вычислить , где l – простой замкнутый контур, пробегаемый в положительном направлении. Указание. Рассмотреть случаи: 1) начало координат находится вне контура l; 2) контур l окружает начало координат.

118. В каждой точке эллипса  приложена сила , равная по величине расстоянию от точки M до центра эллипса и направленная к центру эллипса. Найти работу при перемещении в положительном направлении: а) вдоль дуги эллипса в первом октанте; б) вдоль всего эллипса.

119. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки ее приложения от оси Oz , перпендикулярна к этой оси и направлена к ней. Найти работу этой силы по окружности  от точки  до точки . Указание. .

Будем моделировать четырехпроводную трехфазную цепь