Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

Поверхностные интегралы

Двусторонние поверхности и их ориентация

Гладкая поверхность s называется двусторонней поверхностью , если при возвращении в исходную точку после обхода замкнутого контура , лежащего на s и не имеющего общих точек с ее границей, направление нормали к поверхности не меняется.

 Совокупность всех точек поверхности с приписанными  в них по указанному правилу нормалями называется определенной стороной поверхности.

 Выбор определенной стороны поверхности называется ориентацией поверхности. Выбранная сторона - это положительная сторона поверхности. Для замкнутой поверхности положительной считается внешняя сторона.

 Если s задана неявным уравнением , то сторона характеризуется одним из единичных нормальных векторов

 . (6.1)

 Если s задана явным уравнением , , то сторона характеризуется одним из векторов :

 . (6.2)

 

 

Поверхностный интеграл первого рода (ПИ-1)

 Пусть : 1) в точках двусторонней гладкой (или кусочно-гладкой) поверхности s из пространства , ограниченной кусочно-гладким контуром, определена ограниченная скалярная функция ; 2) - произвольное разбиение s на n частей  с площадями  и диаметрами ; 3)  - произвольный набор точек;

4)- интегральная сумма, соответствующая данному разбиению поверхности s и выбору точек .

Определение. Конечный предел интегральной суммы   при  ,не зависящий ни от способа разбиения поверхности s, ни от выбора точек , называется поверхностным интегралом первого рода от функции  по поверхности s:

 .

Вычисление ПИ-1. Теорема 14.10. Если : 1) поверхность s задана неявным уравнением  и есть решение этого уравнения при  или - решение уравнения при , или  -решение уравнения при , где - проекции s на плоскости - соответственно, 2) между точками s и ее соответствующей проекцией установлено взаимно однозначное соответствие, то

, (6.3)

причем ПИ-1 существует, если существуют соответствующие двойные интегралы.

Здесь  координаты вектора и находятся по формулам (6.1).
ПИ-1 не зависит от выбора стороны поверхности.

Следствие. При явном задании s :  в силу (6.2) из (6.3) получим

 . (6.4)

Некоторые приложения ПИ-1

Масса материальной поверхности. Пусть - поверхностная плотность материальной поверхности s площади s. Тогда масса этой поверхности
.

Площадь искривленной поверхности s . Если принять в предыдущей формуле , то масса поверхности s числено равна площади s , т.е.
.

Статические моменты материальной поверхности s с поверхностной плотностью  и массой m относительно плоскостей  соответственно равны: , .

Координаты центра тяжести материальной поверхности s :

 .

Задания

Записать линейные свойства ПИ-1.

Записать свойство аддитивности для ПИ-1.

Пример 23. Вычислить ПИ-1 , где s - часть плоскости

, вырезанная цилиндром  (рис.14.26).

 

Рис. 14.26 

 

Ñ Поверхность s проецируется на плоскость  в круг . По формуле (6.4) . Из уравнения s следует ,  ; тогда =

=

=.#

Пример 24. Вычислить ПИ-1 , где s - полная поверхность тетраэдра, отсекаемого от первого октанта плоскостью .

Ñ Полная поверхность s тетраэдра складывается из его граней: ,где (рис.14.27).

 Выпишем уравнения поверхностей и вычислим для них элементы :

а) ;

б) ;

Рис.14.277

 
в) ;

г) .

Задав уравнения поверхностей в явном виде, мы определили тем самым плоскости проецирования их; - области, на которые проецируются .

.

По поводу последней записи напомним, что следует в подынтегральной функции  независимые переменные (переменные из области ) оставлять без изменения, зависимую переменную заменить из явного уравнения соответствующей поверхности, а  заменить выражением, полученным выше, причем . Находим:

;

, так как области и  переходят одна в другую заменой  на ;

;

=.

.#

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить поверхностные интегралы первого рода:

120. , где s - часть плоскости , лежащая в первом октанте.

121. , где s - часть сферы , лежащая в первом октанте.

122. , где s - полусфера .

123. , где s - полусфера .

124. , где s - цилиндр , ограниченный плоскостями , а r –расстояние от точки поверхности до начала координат.

125. , где s - часть конической поверхности , вырезанная поверхностью .

126. Найти массу сферы, если поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию этой точки от некоторого фиксированного диаметра сферы.

127. Найти массу параболической оболочки , плотность которой меняется по закону .

128. Найти массу полусферы , плотность которой в каждой ее точке равна .

129. Найти координаты центра тяжести части однородной поверхности , вырезанной поверхностью .

Будем моделировать четырехпроводную трехфазную цепь