Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Дифференциальные уравнения

Поверхностные интегралы

Двусторонние поверхности и их ориентация

Гладкая поверхность s называется двусторонней поверхностью , если при возвращении в исходную точку после обхода замкнутого контура , лежащего на s и не имеющего общих точек с ее границей, направление нормали к поверхности не меняется.

 Совокупность всех точек поверхности с приписанными  в них по указанному правилу нормалями называется определенной стороной поверхности.

 Выбор определенной стороны поверхности называется ориентацией поверхности. Выбранная сторона - это положительная сторона поверхности. Для замкнутой поверхности положительной считается внешняя сторона.

 Если s задана неявным уравнением , то сторона характеризуется одним из единичных нормальных векторов

 . (6.1)

 Если s задана явным уравнением , , то сторона характеризуется одним из векторов :

 . (6.2)

 

 

Поверхностный интеграл первого рода (ПИ-1)

 Пусть : 1) в точках двусторонней гладкой (или кусочно-гладкой) поверхности s из пространства , ограниченной кусочно-гладким контуром, определена ограниченная скалярная функция ; 2) - произвольное разбиение s на n частей  с площадями  и диаметрами ; 3)  - произвольный набор точек;

4)- интегральная сумма, соответствующая данному разбиению поверхности s и выбору точек .

Определение. Конечный предел интегральной суммы   при  ,не зависящий ни от способа разбиения поверхности s, ни от выбора точек , называется поверхностным интегралом первого рода от функции  по поверхности s:

 .

Вычисление ПИ-1. Теорема 14.10. Если : 1) поверхность s задана неявным уравнением  и есть решение этого уравнения при  или - решение уравнения при , или  -решение уравнения при , где - проекции s на плоскости - соответственно, 2) между точками s и ее соответствующей проекцией установлено взаимно однозначное соответствие, то

, (6.3)

причем ПИ-1 существует, если существуют соответствующие двойные интегралы.

Здесь  координаты вектора и находятся по формулам (6.1).
ПИ-1 не зависит от выбора стороны поверхности.

Следствие. При явном задании s :  в силу (6.2) из (6.3) получим

 . (6.4)

Некоторые приложения ПИ-1

Масса материальной поверхности. Пусть - поверхностная плотность материальной поверхности s площади s. Тогда масса этой поверхности
.

Площадь искривленной поверхности s . Если принять в предыдущей формуле , то масса поверхности s числено равна площади s , т.е.
.

Статические моменты материальной поверхности s с поверхностной плотностью  и массой m относительно плоскостей  соответственно равны: , .

Координаты центра тяжести материальной поверхности s :

 .

Задания

Записать линейные свойства ПИ-1.

Записать свойство аддитивности для ПИ-1.

Пример 23. Вычислить ПИ-1 , где s - часть плоскости

, вырезанная цилиндром  (рис.14.26).

 

Рис. 14.26 

 

Ñ Поверхность s проецируется на плоскость  в круг . По формуле (6.4) . Из уравнения s следует ,  ; тогда =

=

=.#

Пример 24. Вычислить ПИ-1 , где s - полная поверхность тетраэдра, отсекаемого от первого октанта плоскостью .

Ñ Полная поверхность s тетраэдра складывается из его граней: ,где (рис.14.27).

 Выпишем уравнения поверхностей и вычислим для них элементы :

а) ;

б) ;

Рис.14.277

 
в) ;

г) .

Задав уравнения поверхностей в явном виде, мы определили тем самым плоскости проецирования их; - области, на которые проецируются .

.

По поводу последней записи напомним, что следует в подынтегральной функции  независимые переменные (переменные из области ) оставлять без изменения, зависимую переменную заменить из явного уравнения соответствующей поверхности, а  заменить выражением, полученным выше, причем . Находим:

;

, так как области и  переходят одна в другую заменой  на ;

;

=.

.#

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить поверхностные интегралы первого рода:

120. , где s - часть плоскости , лежащая в первом октанте.

121. , где s - часть сферы , лежащая в первом октанте.

122. , где s - полусфера .

123. , где s - полусфера .

124. , где s - цилиндр , ограниченный плоскостями , а r –расстояние от точки поверхности до начала координат.

125. , где s - часть конической поверхности , вырезанная поверхностью .

126. Найти массу сферы, если поверхностная плотность в каждой точке равна расстоянию этой точки от некоторого фиксированного диаметра сферы.

127. Найти массу параболической оболочки , плотность которой меняется по закону .

128. Найти массу полусферы , плотность которой в каждой ее точке равна .

129. Найти координаты центра тяжести части однородной поверхности , вырезанной поверхностью .

Будем моделировать четырехпроводную трехфазную цепь