Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Уравнения с разделяющимися переменными

Некоторые приложения двойных и тройных интегралов

1. Площадь фигуры. а) Для плоской фигуры  

 .  (4.1)

б) Площадь части искривленной поверхности рассматривается в разделе 14.6. этой главы.

2. Объем тела V:  (- проекция V на плоскость Oxy):

  (4.2)

или   . (4.3)

3. Масса. а) Если  - поверхностная плотность массы плоской фигуры , то 

 .  (4.4)

б) если - объемная плотность массы тела , то

 .  (4.5)

Для однородных фигур и тел плотность  примем равной единице.

4. Статические моменты и координаты центра тяжести. а) Для плоской фигуры  c плотностью  и массой m статические моменты относительно координатных осей:

 ;

координаты центра тяжести:

 .

б) Для тела V с плотностью  и массой m статические моменты относительно координатных плоскостей

 ;

координаты центра тяжести:

 , .

Пример14. Найти массу пластинки  с поверхностной плотностью .

Ñ По формуле (4.4) . Область D и подынтегральная функция совпадают с областью интегрирования и функцией из примера 9 в пункте 14.2.4 при ; там же вычислен этот двойной интеграл, поэтому  и при . #

Пример 15. Найти массу тела. , если объемная плотность .

Ñ По формуле (4.5) . Тройной интеграл I по данной области V вычислен в примере 12 из пункта 14.3.3, , и потому .#

Пример 16. Найти объем тела  ; , .

Ñ Из формулы (4.3)  . Тело V ограничено сферами, полуконусами и плоскостями (рис.14.21).

a)

 

Рис.14.21

 

 

 

 

Рис.14.21 в)

 
 Из анализа уравнений и вида поверхностей следует целесообразность перехода к сферическим координатам  по формулам: , , . Поверхности, ограничивающие V, преобразуются:1);
2) ;

3)  или ;

4) ;

5) ; 6) .

Область изменения сферических координат точек области V есть

.

Тогда в силу формулы (3.7) =

=

. #

Задачи для самостоятельного решения

 Вычислить объемы тел, ограниченных заданными поверхностями:

63. . 64. .

65. .

66. . 67.

68. - гиперболический параболоид, .

69. . 70. .

71. . 72.   .

73. Найти массу квадратной пластинки со стороной a , если плотность пластинки в каждой точке пропорциональна расстоянию этой точки от одной из вершин и равен  в центре квадрата.

 Найти координаты центра тяжести однородных пластинок, ограниченных кривыми:

74. . 75. .

76. . 77.  - кардиоида, .

Найти координаты центра тяжести однородных тел, ограниченных поверхностями:

78.  (усеченный параллелепипед).

79. .

80. .

Будем моделировать четырехпроводную трехфазную цепь