Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

Некоторые приложения двойных и тройных интегралов

1. Площадь фигуры. а) Для плоской фигуры  

 .  (4.1)

б) Площадь части искривленной поверхности рассматривается в разделе 14.6. этой главы.

2. Объем тела V:  (- проекция V на плоскость Oxy):

  (4.2)

или   . (4.3)

3. Масса. а) Если  - поверхностная плотность массы плоской фигуры , то 

 .  (4.4)

б) если - объемная плотность массы тела , то

 .  (4.5)

Для однородных фигур и тел плотность  примем равной единице.

4. Статические моменты и координаты центра тяжести. а) Для плоской фигуры  c плотностью  и массой m статические моменты относительно координатных осей:

 ;

координаты центра тяжести:

 .

б) Для тела V с плотностью  и массой m статические моменты относительно координатных плоскостей

 ;

координаты центра тяжести:

 , .

Пример14. Найти массу пластинки  с поверхностной плотностью .

Ñ По формуле (4.4) . Область D и подынтегральная функция совпадают с областью интегрирования и функцией из примера 9 в пункте 14.2.4 при ; там же вычислен этот двойной интеграл, поэтому  и при . #

Пример 15. Найти массу тела. , если объемная плотность .

Ñ По формуле (4.5) . Тройной интеграл I по данной области V вычислен в примере 12 из пункта 14.3.3, , и потому .#

Пример 16. Найти объем тела  ; , .

Ñ Из формулы (4.3)  . Тело V ограничено сферами, полуконусами и плоскостями (рис.14.21).

a)

 

Рис.14.21

 

 

 

 

Рис.14.21 в)

 
 Из анализа уравнений и вида поверхностей следует целесообразность перехода к сферическим координатам  по формулам: , , . Поверхности, ограничивающие V, преобразуются:1);
2) ;

3)  или ;

4) ;

5) ; 6) .

Область изменения сферических координат точек области V есть

.

Тогда в силу формулы (3.7) =

=

. #

Задачи для самостоятельного решения

 Вычислить объемы тел, ограниченных заданными поверхностями:

63. . 64. .

65. .

66. . 67.

68. - гиперболический параболоид, .

69. . 70. .

71. . 72.   .

73. Найти массу квадратной пластинки со стороной a , если плотность пластинки в каждой точке пропорциональна расстоянию этой точки от одной из вершин и равен  в центре квадрата.

 Найти координаты центра тяжести однородных пластинок, ограниченных кривыми:

74. . 75. .

76. . 77.  - кардиоида, .

Найти координаты центра тяжести однородных тел, ограниченных поверхностями:

78.  (усеченный параллелепипед).

79. .

80. .

Будем моделировать четырехпроводную трехфазную цепь