Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

Замена переменных в тройном интеграле

 Пусть функции  осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области W из пространства Ouvw на область V пространства Oxyz. Тогда существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение   области V на область W, если якобиан преобразования

  .

 Величины u,v,w можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области W и в то же время как криволинейные координаты точек области V. Точки пространства Oxyz , для которых одна из координат u, v, w сохраняет постоянное значение, образуют координатную поверхность. Всего будет три семейства таких поверхностей.

 Теорема 14.5. Пусть , ,  есть диф-ференцируемое преобразование области W из пространства Ouvw в область V из пространства Oxyz. Тогда

  . (3.5)

Замечание. Последнее равенство сохраняет справедливость, когда условие взаимно однозначного соответствия между областями V и W нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий, или на отдельных поверхностях.

 

Переход в тройном интеграле к цилиндрическим координатам

Формулы  преобразуют цилиндрические координаты  точки M в декартовы координаты этой точки и переводят область изменения криволинейных координат  (или ) на все пространство Oxyz. Геометрически: r- радиус-вектор OM точки P – проекции точки M на плоскость Oxy; j- угол между Ox и OP; z- ап-
Рис. 14.17. пликата точки M (рис. 14.17).

 Обратное преобразование задается формулами:

Фиксируя в последних формулах , получим тройку координатных поверхностей: круговой цилиндр с осью Oz , полуплоскость, исходящую из оси Oz, и плоскость, параллельную плоскости Oxy (рис.14.17).

Рис.14.17

 
Якобиан преобразования

При переходе в тройном интеграле к цилиндрическим координатам формула (3.5) примет вид0

 , (3.6)

где W - область изменения цилиндрических координат точек области V из Oxyz.

Переход к сферическим координатам

Формулы  преобразуют сферические координаты  точки M в декартовы координаты этой точки и переводят область (или   ) изменения сферических координат на все пространство Oxyz.

Геометрически: r - радиус-ветор OM точки M; j- угол между осью Ox и проекцией радиус-вектора r на плоскость Oxy; y- угол между осью Oz и радиус-вектором r, отсчитываемый по ходу стрелки часов (рис.14.18). Обратное преобразование имеет вид

 ,

 

Фиксируя в последних формулах , получим тройку координатных поверхностей: сферу, полуплоскость, полуконус, соответственно (рис.14.18).Якобиан преобразования

 .

Рис.14.18

 
 При переходе в тройном интеграле к сферическим координатам справедлива формула:

 

, (3.7)

где W - область изменения сферических координат точек области V из Oxyz.

Пример 12. Вычислить тройной интеграл , где .

Ñ Область V ограничена полусферой  и полуконусом  (рис.14.18). Для удобства вычисления тройного интеграла перейдем к сферическим координатам по формулам:  , при этом . Неравенства, описывающие V , преобразуются: а)

б) .

Так как нет ограничений на , то . В итоге, область интегрирования в сферических координатах есть  (этот же результат можно было усмотреть из чертежа). Тогда по формуле (3.7) =½повторный интеграл "расщепился" в произведение определенных интегралов ½=

 =. #

Пример 13. Вычислить тройной интеграл , где V ограничена полусферой , цилиндром и плоскостью .

Ñ Тело V и проекция его на плоскость Oxy - круг радиуса R изображены на рис.14.19 и 14.20. Для вычисления I перейдем к цилиндрическим координатам  по формулам . Поверхности, ограничивающие V преобразуются: а) , б) , в) z=a . Так как нет ограничений на координату , то  (или .Область интегрирования в цилиндрических координатах есть  .

 

Рис.14.20

 

Рис.14.19

 
Тогда по формуле (3.6)  = =  == = ==. #

Задачи для самостоятельного решения

Перейти в тройном интеграле  к цилиндрическим координатам  или сферическим координатам  и расставить пределы интегрирования:

52. V – область, находящаяся в первом октанте и ограниченная поверхностями , .

53. V – область, ограниченная поверхностями .

54. .

55. .

Перейдя к цилиндрическим или сферическим координатам, вычислить интегралы:

56. . 57. .

58. . 59. .

60.  , где .

61.  , где .

62. , где область V ограничена поверхностью .

Будем моделировать четырехпроводную трехфазную цепь