Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

История искусства http://rusgraf.ru/ Архитектура

Замена переменных в тройном интеграле

 Пусть функции  осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области W из пространства Ouvw на область V пространства Oxyz. Тогда существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение   области V на область W, если якобиан преобразования

  .

 Величины u,v,w можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области W и в то же время как криволинейные координаты точек области V. Точки пространства Oxyz , для которых одна из координат u, v, w сохраняет постоянное значение, образуют координатную поверхность. Всего будет три семейства таких поверхностей.

 Теорема 14.5. Пусть , ,  есть диф-ференцируемое преобразование области W из пространства Ouvw в область V из пространства Oxyz. Тогда

  . (3.5)

Замечание. Последнее равенство сохраняет справедливость, когда условие взаимно однозначного соответствия между областями V и W нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий, или на отдельных поверхностях.

 

Переход в тройном интеграле к цилиндрическим координатам

Формулы  преобразуют цилиндрические координаты  точки M в декартовы координаты этой точки и переводят область изменения криволинейных координат  (или ) на все пространство Oxyz. Геометрически: r- радиус-вектор OM точки P – проекции точки M на плоскость Oxy; j- угол между Ox и OP; z- ап-
Рис. 14.17. пликата точки M (рис. 14.17).

 Обратное преобразование задается формулами:

Фиксируя в последних формулах , получим тройку координатных поверхностей: круговой цилиндр с осью Oz , полуплоскость, исходящую из оси Oz, и плоскость, параллельную плоскости Oxy (рис.14.17).

Рис.14.17

 
Якобиан преобразования

При переходе в тройном интеграле к цилиндрическим координатам формула (3.5) примет вид0

 , (3.6)

где W - область изменения цилиндрических координат точек области V из Oxyz.

Переход к сферическим координатам

Формулы  преобразуют сферические координаты  точки M в декартовы координаты этой точки и переводят область (или   ) изменения сферических координат на все пространство Oxyz.

Геометрически: r - радиус-ветор OM точки M; j- угол между осью Ox и проекцией радиус-вектора r на плоскость Oxy; y- угол между осью Oz и радиус-вектором r, отсчитываемый по ходу стрелки часов (рис.14.18). Обратное преобразование имеет вид

 ,

 

Фиксируя в последних формулах , получим тройку координатных поверхностей: сферу, полуплоскость, полуконус, соответственно (рис.14.18).Якобиан преобразования

 .

Рис.14.18

 
 При переходе в тройном интеграле к сферическим координатам справедлива формула:

 

, (3.7)

где W - область изменения сферических координат точек области V из Oxyz.

Пример 12. Вычислить тройной интеграл , где .

Ñ Область V ограничена полусферой  и полуконусом  (рис.14.18). Для удобства вычисления тройного интеграла перейдем к сферическим координатам по формулам:  , при этом . Неравенства, описывающие V , преобразуются: а)

б) .

Так как нет ограничений на , то . В итоге, область интегрирования в сферических координатах есть  (этот же результат можно было усмотреть из чертежа). Тогда по формуле (3.7) =½повторный интеграл "расщепился" в произведение определенных интегралов ½=

 =. #

Пример 13. Вычислить тройной интеграл , где V ограничена полусферой , цилиндром и плоскостью .

Ñ Тело V и проекция его на плоскость Oxy - круг радиуса R изображены на рис.14.19 и 14.20. Для вычисления I перейдем к цилиндрическим координатам  по формулам . Поверхности, ограничивающие V преобразуются: а) , б) , в) z=a . Так как нет ограничений на координату , то  (или .Область интегрирования в цилиндрических координатах есть  .

 

Рис.14.20

 

Рис.14.19

 
Тогда по формуле (3.6)  = =  == = ==. #

Задачи для самостоятельного решения

Перейти в тройном интеграле  к цилиндрическим координатам  или сферическим координатам  и расставить пределы интегрирования:

52. V – область, находящаяся в первом октанте и ограниченная поверхностями , .

53. V – область, ограниченная поверхностями .

54. .

55. .

Перейдя к цилиндрическим или сферическим координатам, вычислить интегралы:

56. . 57. .

58. . 59. .

60.  , где .

61.  , где .

62. , где область V ограничена поверхностью .

Будем моделировать четырехпроводную трехфазную цепь