Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Замена переменных в двойном интеграле.

 Пусть функции  осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области P плоскости  на область S плоскости . Тогда существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение ,  области S на область P, если якобиан преобразования

 =.

 Величины u и v можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области P и в то же время как криволинейные координаты точек области S. Точки плоскости Oxy, для которых одна из координат u и v сохраняет постоянное значение, образуют координатную линию. Всего будет два семейства таких линий.

Теорема 14.3. Пусть  есть дифференцируемое преобразование области P из плоскости  на область S из плоскости . Тогда справедливо равенство

  (2.5)

Замечание. Равенство (2.5) сохраняет справедливость, когда условие взаимно однозначного соответствия между областями S и P нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий.

Переход в двойном интеграле к полярным координатам

Формулы 

  (2.6)

преобразуют полярные координаты  точки в декартовы координаты этой точки и переводят область  (или область ) на всю плоскость Oxy.

 Обратное преобразование декартовых координат в полярные осуществляется по формулам:

Фиксируя в последних формулах и, получим координатные линии из разных семейств: окружность с центром в точке и луч, исходящий из точки .

Якобиан преобразования

и формула (2.5) принимает вид:

  (2.7)

Рекомендация. К полярным координатам целесообразно переходить, когда в подынтегральное выражение или в уравнения границы области интегрирования входит комбинация .

 В некоторых случаях при вычислении двойного интеграла удобно перейти от декартовых координат к эллиптическим полярным координатам    по формулам

 ,  (2.8)

- постоянные, . Тогда

  (2.9)

Пример 6. Записать в полярной системе координат область S , заданную в декартовой системе координат неравенством (круг радиуса R с центром в точке ).

Ñ Перейдем от декартовых координат x, y к полярным  по формулам ,  . Подставим x и y в исходное неравенство, получим:   или . На координату j дополнительных ограничений не накладывается, поэтому  (или ). 

 В полярной системе координат круг записывается неравенствами: . #

Пример 7. Записать в полярной системе координат область S - часть круга, ограниченную линиями , ,  (), - постоянные, .

Ñ Изобразим область S (рис. 14.9). Запишем заданные линии в полярных координатах, которые связаны с декартовыми формулами , : 1)Þ ;

2) Þ, ;

3)Þ.

 Область  переходит в область

 .

 

 

 


Рис.14.9

 
В полярной системе координат заданная область определяется системой неравенств: . #

Пример 8. Вычислить двойной интеграл , S - множество точек, удовлетворяющих неравенству .

Рис.14.10

 
Ñ Границей области является линия  или  - окружность радиуса 2 с центром в точке
 (рис. 14.10).

Наличие в уравнении границы комбинации  наводит на мысль, что для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам  по формулам , , . Уравнение границы  переходит в уравнение  или . Отсюда r=0 (соответствует полюсу O) и - уравнение окружности. Так как всегда  (по смыслу r), то из  следует , отсюда получаем  (этот же результат можно усмотреть из рисунка). Итак, в полярных координатах область интегрирования есть  . Тогда по формуле (2.7)

. #

 Пример 9. Вычислить , где  .

Ñ Область D ограничена линиями: – эллипс с полуосями a и b, – эллипс с полуосями  и , y=0 – прямая (ось Ox), – прямая (рис. 14.11).

Рис.14.11

 
Анализ границы области указывает на целесообразность перехода к эллиптическим полярным координатам по формулам (2.8), (2.9): , . Уравнения границы области в координатах  будут: 1), 2)  , 3) ,
4) . Итак, область интегрирования в координатах  есть

. Тогда 

. #

Задачи для самостоятельного решения

Перейти в двойном интеграле  к полярным координатам  и расставить пределы интегрирования в порядке: внешнее – по j, внутреннее - по r:

27. D – область, ограниченная окружностями  и прямыми , .

28. D - область, являющаяся общей частью двух кругов  и .

29. D - меньший из двух сегментов, на которые прямая  рассекает круг .

30. D - внутренняя часть правой петли лемнискаты Бернулли .

31. D:.

32. D: .Указание. Перейти к эллиптическим полярным координатам.

33. D - область, ограниченная линией . Указание. Перейти к эллиптическим полярным координатам.

34. . 35. . 36. .

С помощью перехода к полярным координатам вычислить интегралы:

37. . 38. .

39. . 40. , D - часть кольца ,

, . 41. .

Вычислить, перейдя к эллиптическим полярным координатам, интегралы:

42. .

43. - область, ограниченная линией

Машиностроительное черчение выполнение четежей