Решение контрольной работы по математике. Примеры решения задач

Математика
Примеры решения задач по математике
Интегральное исчесление
Аналитическая геометрия
Введение в анализ
Задача Коши
Общее решение уравнения теплопроводности
Оценка погрешности и точность вычислений
Элементы линейной алгебры
Примеры решения типовых задач: матрицы
Примеры решения типовых задач:
уравнение плоскости
Решение контрольной работы по
математике
Функция нескольких переменных
Вычислим матрицу
Функции нескольких переменных
Предел функции
Решение примерного варианта контрольной работы
Пример.  Найти производные
Формула Остроградского-Гаусса.
Дивергенция векторного поля
Ротор (вихрь) векторного поля
Поверхностные интегралы второго рода
Локальные максимумы и минимумы ФНП
Вычисление двойного интеграла
Замена переменных в двойном интеграле
Вычислить повторный интеграл
Вычислить определенный интеграл
Криволинейные интегралы первого рода
Криволинейные интегралы второго рода
Поверхностные интегралы
Вычисление тройного интеграла
Объем тела вращения
Вычисление площади поверхности вращения
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление статических моментов
Замена переменных в тройном интеграле
Кратные интегралы
Интегральное исчисление в экономике
Вычисление длины дуги плоской кривой
Дифференциальные уравнения
Дифференцируемость функции
Предел функции
Вычислить криволинейный интеграл
Исследовать ряд на сходимость
Разложение в ряд Фурье
Найти область сходимости функционального ряда
Информатика
Информационная безопасность
Инженерная графика
Машиностроительное черчение
Сборочный чертеж
Системы автоматизированного
проектирования (САПР)
Физика
Примеры решения задач по физике

Механика твердого тела

Основы термодинамики
Электрические токи в металлах, вакууме и газах
Механические и электромагнитные колебания
Элементы электронной оптики
Элементы физики твердого тела

Элементы физики атомного ядра

Мировая энергетика и ядерные технологии
Источники энергии
Электротехника и электроника
Примеры решения задач по ТОЭ
Методы расчета электрических цепей
Законы Ома и Кирхгофа
Расчет переходного процесса
Использование программы Mathcad
Трехфазный асинхронный электродвигатель

Замена переменных в двойном интеграле.

 Пусть функции  осуществляют взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение области P плоскости  на область S плоскости . Тогда существует обратное непрерывно дифференцируемое отображение ,  области S на область P, если якобиан преобразования

 =.

 Величины u и v можно рассматривать как прямоугольные координаты для точек области P и в то же время как криволинейные координаты точек области S. Точки плоскости Oxy, для которых одна из координат u и v сохраняет постоянное значение, образуют координатную линию. Всего будет два семейства таких линий.

Теорема 14.3. Пусть  есть дифференцируемое преобразование области P из плоскости  на область S из плоскости . Тогда справедливо равенство

  (2.5)

Замечание. Равенство (2.5) сохраняет справедливость, когда условие взаимно однозначного соответствия между областями S и P нарушается в отдельных точках или вдоль отдельных линий.

Переход в двойном интеграле к полярным координатам

Формулы 

  (2.6)

преобразуют полярные координаты  точки в декартовы координаты этой точки и переводят область  (или область ) на всю плоскость Oxy.

 Обратное преобразование декартовых координат в полярные осуществляется по формулам:

Фиксируя в последних формулах и, получим координатные линии из разных семейств: окружность с центром в точке и луч, исходящий из точки .

Якобиан преобразования

и формула (2.5) принимает вид:

  (2.7)

Рекомендация. К полярным координатам целесообразно переходить, когда в подынтегральное выражение или в уравнения границы области интегрирования входит комбинация .

 В некоторых случаях при вычислении двойного интеграла удобно перейти от декартовых координат к эллиптическим полярным координатам    по формулам

 ,  (2.8)

- постоянные, . Тогда

  (2.9)

Пример 6. Записать в полярной системе координат область S , заданную в декартовой системе координат неравенством (круг радиуса R с центром в точке ).

Ñ Перейдем от декартовых координат x, y к полярным  по формулам ,  . Подставим x и y в исходное неравенство, получим:   или . На координату j дополнительных ограничений не накладывается, поэтому  (или ). 

 В полярной системе координат круг записывается неравенствами: . #

Пример 7. Записать в полярной системе координат область S - часть круга, ограниченную линиями , ,  (), - постоянные, .

Ñ Изобразим область S (рис. 14.9). Запишем заданные линии в полярных координатах, которые связаны с декартовыми формулами , : 1)Þ ;

2) Þ, ;

3)Þ.

 Область  переходит в область

 .

 

 

 


Рис.14.9

 
В полярной системе координат заданная область определяется системой неравенств: . #

Пример 8. Вычислить двойной интеграл , S - множество точек, удовлетворяющих неравенству .

Рис.14.10

 
Ñ Границей области является линия  или  - окружность радиуса 2 с центром в точке
 (рис. 14.10).

Наличие в уравнении границы комбинации  наводит на мысль, что для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам  по формулам , , . Уравнение границы  переходит в уравнение  или . Отсюда r=0 (соответствует полюсу O) и - уравнение окружности. Так как всегда  (по смыслу r), то из  следует , отсюда получаем  (этот же результат можно усмотреть из рисунка). Итак, в полярных координатах область интегрирования есть  . Тогда по формуле (2.7)

. #

 Пример 9. Вычислить , где  .

Ñ Область D ограничена линиями: – эллипс с полуосями a и b, – эллипс с полуосями  и , y=0 – прямая (ось Ox), – прямая (рис. 14.11).

Рис.14.11

 
Анализ границы области указывает на целесообразность перехода к эллиптическим полярным координатам по формулам (2.8), (2.9): , . Уравнения границы области в координатах  будут: 1), 2)  , 3) ,
4) . Итак, область интегрирования в координатах  есть

. Тогда 

. #

Задачи для самостоятельного решения

Перейти в двойном интеграле  к полярным координатам  и расставить пределы интегрирования в порядке: внешнее – по j, внутреннее - по r:

27. D – область, ограниченная окружностями  и прямыми , .

28. D - область, являющаяся общей частью двух кругов  и .

29. D - меньший из двух сегментов, на которые прямая  рассекает круг .

30. D - внутренняя часть правой петли лемнискаты Бернулли .

31. D:.

32. D: .Указание. Перейти к эллиптическим полярным координатам.

33. D - область, ограниченная линией . Указание. Перейти к эллиптическим полярным координатам.

34. . 35. . 36. .

С помощью перехода к полярным координатам вычислить интегралы:

37. . 38. .

39. . 40. , D - часть кольца ,

, . 41. .

Вычислить, перейдя к эллиптическим полярным координатам, интегралы:

42. .

43. - область, ограниченная линией

Машиностроительное черчение выполнение четежей