|
|
Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось х была направлена вдоль луча бегущей волны и начало О координат совпадало с точкой, находящейся на источнике MN плоской волны (рис. 7.2). С учетом этого, уравнение бегущей волны запишется в виде
x1=Acos(wt—kx). (1)
Поскольку в точку с координатой х волна возвратится, прейдя дважды расстояние l-х, и при отражении от стены, как среды более плотной, изменит фазу на p, то уравнение отраженной волны может быть записано в виде
x2=Acos{wt—k[x+2(l—x)]+ p}
После очевидных упрощений получим
x2=Acоs[wt—k (2l—х)]. 2) Сложив уравнения (1) и (2), найдем уравнение стоячей волны:
x=x1+x2=Acos(wt—kx)— Acos[wt—k(2l—x)].
Воспользовавшись формулой разности косинусов, найдем
x= -2Asink(l—x)sin(wt—kl).
Так как выражение Asink(l—х) не зависит от времени, то, взятое по модулю, оно может рассматриваться как амплитуда стоячей волны:
Aст=|2Asink(l—x)|.
Зная выражение амплитуды, можем найти координаты узлов и пучностей.
Узлы возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны равна нулю: |2Asink(l—x)|=0. Это равенство выполняется для точек, координаты xn которых удовлетворяют условию
k (l— xn)=np (n=0, 1, 2, ...). (3)
Но k=2p/l, или, так как l=J/v,
k=2pv/J. (4) Подставив это выражение k в (3), получим
2pv(l— xn)=npJ,
откуда координаты узлов
xn=l—nJ/(2v).
Подставив сюда значения l, J, v и n=0, 1, 2, найдем координаты первых трех узлов:
x0=4 м, x1=3,61 м, x2=3,23 м.
Пучности возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны максимальна: 2Asink(l—х')=2А. Это равенство выполняется для точек, координаты х'n которых удовлетворяют условию k(l— х'n)=(2n+1)(p/2) (п=0, 1, 2, 3, ...). Выразив здесь k по (4), получим
4vх'n =4vl—(2n+1)J,
откуда координаты пучностей
х'n=l—(2n+l)J/(4v).
Подставив сюда значения l, J, v и n=0, 1, 2, найдем координаты первых трех пучностей:
х'0=3,81 м, х'1=3,42 м, х'2 =3,04 м.
|
|
Границы максимальных смещений точек среды в зависимости от их координат изображены на рис. 7.3. Здесь же отмечены координаты х0,, х1, х2 , ... узлов и координаты х'0, х'1, х'2 ... пучностей стоячей волны.
| Рис. 7.3 |
Пример
8. Молот массой m1=200 кг падает на поковку,
масса т2, которой вместе с наковальней равна 2500 кг.
Скорость v1 молота в
момент удара равна 2 м/с. Найти: 1) кинетическую энергию T1 молота в момент удара; 2) энергию Т2, переданную
фундаменту; 3) энергию Т, затраченную на деформацию поковки; 4) коэффициент
полезного действия 
(КПД) удара молота о поковку. Удар молота о поковку рассматривать
как неупругий.
Решение. 1. Кинетическую энергию молота в момент удара найдем по формуле T=m1v12/2. Подставив значения т1 и v1 и произведя вычисления, получим
T1=400 Дж.
2. Чтобы определить энергию, переданную фундаменту, предварительно найдем скорость системы молот — поковка (с наковальней) непосредственно после удара. Для этого применим закон сохранения импульса, который в случае неупругого удара двух тел выражается формулой Вычислить интегралы от функции комплексного переменного Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике
т1v1+m2v2=(m1+m2)u, (1)
где v2 — скорость поковки (вместе с наковальней) перед ударом; и - скорость молота и поковки (вместе с наковальней) непосредственно после удара. Так как поковка с наковальней до удара находилась в состоянии покоя, то v2=0. При неупругом ударе деформация не восстанавливается, вследствие чего молот и поковка (с наковальней) движутся как одно целое, т. е. с одинаковой скоростью и. Из формулы (1) найдем эту скорость:
|
||
