Пример
2. В лифте на пружинных весах находится
тело массой т=10 кг (рис. 2.2, а). Лифт движется с ускорением
а=2 м/с2. Определить показания весов в двух случаях, когда ускорение
лифта направлено: 1) вертикально вверх, 2) вертикально вниз.
Решение. Определить
показания весов — это значит найти вес телаG, т. е. силу, с которой тело действует на пружину. Но эта
сила, по третьему закону Ньютона, равна по модулю и противоположна
по направлению силе упругости N (силе реакции опоры), с которой
пружина через посредство прикрепленной к ней чашки весов действует
на тело, т. е.
G= — N, или G=N. (1)
Следовательно,
задача определения показания весов сводится к нахождению реакции опоры
N.
Задачу
можно решать как в инерциальной, так и неинерциальной системе отсчета.
Решение
в инерциальной системе отсчета.
На тело действуют две силы: сила тяжести Р и сила N.
Направим
ось z вертикально вверх и спроецируем на нее все силы, действующие
на тело. Индекс z у проекции сил опустим, так как проекции и сами силы
совпадают по величине. Направление сил учтем знаком плюс или минус.
Напишем уравнение движения:
N—P=ma, откуда
N=P+ma=m(g+a).(2)
Из
равенств (1) и (2) следует
G=m(g+a).
При
вычислении показания весов следует учесть знак ускорения:
1) ускорение направлено вертикально вверх (a>0),
тогда
G1=10(9,81+2)H==118 Н;
2) ускорение направлено вертикально вниз (a<0),
тогда
G2==10(9,81—2) Н=78 Н.
Отметим,
что ни модуль, ни направление скорости лифта не влияют на показания
весов. Существенны лишь величина и направление ускорения.
Решение
в неинерциальной системе отсчета,
т. е. в системе, движущейся ускоренно вместе с лифтом. В этой системе
отсчета законы Ньютона не выполняются. Однако если к телу в соответствии
с принципом Даламбера дополнительно к действующим на него силам приложить
силу инерции
Fi=—та,
где
а — ускорение системы отсчета, то с учетом этой силы законы Ньютона
будут справедливы.
В
этом случае на тело будут действовать три силы: сила тяжести Р,
сила упругости N и сила инерции F; (рис. 2.2, б). Под действием
этих сил тело в данной неинерциальной системе отсчета покоится. Это
значит, что вместо уравнений динамики (законов Ньютона) можно воспользоваться
законами статики. Если тело под действием системы сходящихся сил покоится,
то геометрическая сумма этих сил равна нулю. В данном случае это приводит
к равенству
P+N+Fi=0.
Спроецируем
все силы на ось z и напишем соответствующее равенство для проекций
этих сил (индекс z опустим):
N—P—ma=0,
откуда сила реакции опоры
N=P+ma=m(g+a).(3)
Из
равенств (1) и (3) следует
G=m(g+a),
что
совпадает с результатом, полученным при решении в инерциальной системе
отсчета.
Пример 2. На расстоянии l=4
м от источника плоской волны частотой v=440
Гц перпендикулярно ее лучу расположена стена. Определить расстояния от источника
волн до точек, в которых будут первые три узла и три пучности стоячей волны,
возникшей в результате сложения бегущей и отраженной от стены волн. Скорость
J волны считать равной 440 м/с.
Решение. Выберем
систему координат так, чтобы ось х была направлена вдоль луча бегущей
волны и начало О координат совпадало с точкой, находящейся на источнике
MNплоской
волны (рис. 7.2). С учетом этого, уравнение бегущей волны запишется в виде
x1=Acos(wt—kx). (1) Вычислить интегралы, используя
теорему Коши о вычетах Справочный материал и примеры к выполнению контрольной
работы по математике
Поскольку в точку с координатой х волна возвратится,
прейдя дважды расстояние l-х, и при отражении от стены, как среды более
плотной, изменит фазу на p, то уравнение отраженной волны может быть записано в
виде
