Функции и их графики Непрерывность функций и точки разрыва

На главную

Математика
Функции и их графики
Интеграллы примеры
Пределы
Производные
Решить систему методом Гаусса
Интегральное исчисление
Векторная алгебра
Система программирования
Турбо Паскаль
Корни уравнения
Математический анализ
Предел последовательности
Два основных метода
интегрирования
Дискретные источники
Кривые и поверхности
Последовательные алгоритмы
программирования
Функции маршрутизаторов
Комплексные числа
Мультиплексор или
коммутационная схема
Математическая логика
Дифференцирование и
интегральное исчисление
Дифференциальные уравнения
Интегралы
Многопроцессорные ВС
Курсовые задания
Применение интегралов
Теория функций
комплексного переменного
Двойные интегралы
Физические задачи
Элементарная математика
Постулаты квантовой механики
Математический анализ
Степенные ряды
Вычисление пределов
Типовой расчет
Вероятность безотказной
работы системы
Подготовка к экзамену
Примеры решения задач
Лекции матан
Правило Лопиталя
Элементы теории кривых
Производные и дифференциалы
высших порядков
Непрерывные функции
Предел функции
Последовательности
Формула Тейлора
Определенные интегралы
Кратные интегралы
Тензоры
Интегралы, зависящие
от параметра
Отображение рабочего
экрана Adobe Illustrator
Элементы теории поля
Криволинейные интегралы
Тройные интегралы
Задачи по Кузнецову
Вычислить предел
Построить график
Комбинаторика
Ядерная физика
Cвойства атомных ядер
Ядерные реакции
рабочий чертеж
Воздействие радиации на человека
Модели атомных ядер
Задачи по физике
Механика
Термодинамика
Электростатика
Радиоактивность

Геометрическая оптика

Квантовая механика
Атомная физика
Класическая физика
Кинематика
Волновая и квантовая оптика
Электромагнитное и
электростатическое поле
Примеры решения
физических задач
Электромагнетизм
II семестр физики
III семестр физики
Потенциал
Электpостатика

Теория ОС

Классификация ОС
Представление данных
Машинные языки
Загрузка программ
Управление памятью
Виртуальная память
Внешние события
Параллелизм
Реализация многозадачности
Внешние устройства
Драйверы устройств
Файловые системы
Безопасность
Обзор архитектур ОС
Сетевые ОС
Корпоративные ИС
Протоколы TCP/IP
Брандмауэры
Учебник FTP
Системы безопасности
Windows 2000
Windows 2003
Linux
Архитектура ЭВМ
NT 5.0 Справка
Основы Интернет
Атака через Internet
Основы защиты
Компьютерные сети
Введение в КС
Принципы построения ВС
Local Area Network
Монтаж сети
Передача дискр. данных
Базовые технологии ЛС
Построение локальных сетей
Сетевой уровень
Глобальные сети
Средства анализа
Топология ЛС
Глобальные КС
Глоссарий
Информатика
Турбо Паскаль
Процедуры и функции Pascal
Pascal Курс лекций
Базы данных
Язык запросов SQL
Программирование на СИ
Логическое программирование
Примеры программирования

 

 

Основные обозначения и определения

Всюду в тексте учебника мы будем использовать общепринятые обозначения, те, что используются и в школьных учебниках. В частности,
$ \mathbb{R}$ означает числовую прямую (множество всех вещественных чисел); Математика примеры Найдём интеграл решение задач
$ \mathbb{N}$ означает множество натуральных чисел $ \{1;2;3;4;\dots\}$;
$ \mathbb{Z}$ означает множество всех целых чисел $ \{\dots;-3;-2;-1;0;1;2;3;\dots\}$;

Зная векторы AB(-3,-2,6) и BC(-2,4,4),вычислите длину высоты AD треугольника ABC. Найти массу пластинки ():  , Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Дифференциальные уравнения

Задача Найти общее решение дифференциального уравнения . Решение. Это уравнение вида - линейное дифференциальное уравнение I порядка. Такое уравнение можно решать методом Бернулли с помощью подстановки  где u и v две неизвестные функции.


$ \varnothing $ означает пустое множество; по определению, в нём нет ни одного элемента;
$ [a;b]$, $ [a;b)$, $ (a;b]$ и $ (a;b)$, где $ a\in\mathbb{R}$, $ b\in\mathbb{R}$, соответственно,-- замкнутые, полуоткрытые и открытые промежутки: квадратная скобка означает, что соответствующий конец промежутка включается в множество, а круглая скобка-- что не включается;
$ (-\infty;b]$, $ (-\infty;b)$, $ (a;+\infty)$ и $ [a;+\infty)$, где $ a\in\mathbb{R}$, $ b\in\mathbb{R}$-- замкнутые и открытые лучи (бесконечные промежутки);
$ (-\infty;+\infty)$-- числовая прямая, то же, что и $ \mathbb{R}$; Последовательности
$ A\cup B$-- пересечение (общая часть) множеств $ A$ и $ B$;
$ A\cap B$-- объединение множеств $ A$ и $ B$ (все точки из $ A$ и все точки из $ B$);
$ A\diagdown B$-- множество тех элементов из $ A$, которые не принадлежат $ B$;
$ A\sbs B$-- включение $ A$ в $ B$ ($ A$-- это часть $ B$);
$ x\in A$-- принадлежность элемента $ x$ множеству $ A$ ($ x$ принадлежит $ A$);
$ x\notin A$-- элемент $ x$ не принадлежит множеству $ A$;
$ \{a;b;\dots;z\}$-- множество, состоящее из элементов $ a,b,\dots,z$; в частности, $ \{a\}$-- множество из одного элемента $ a$;
$ \{x\in A: P(x)\}$-- множество всех тех элементов $ x$ из $ A$, для которых выполняется свойство $ P(x)$.

Первый способ задания функции: табличный

пример

Второй способ задания функции: с помощью формулы

Обзор некоторых элементарных функций

Третий способ задания функции: указание процедуры вычисления

Во многих случаях функцию $ f$ приходится задавать сложным образом, так как предыдущие способы задания функций не годятся.

Композиция функций

Если даны два отображения $ {f:X\to U_1}$ и $ {g:U_2\to Y}$, где $ U_2\sbs U_1$, то имеет смысл "сквозное отображение" $ {x\mapsto u\mapsto y}$ из $ X$ в $ Y$, заданное формулой $ y=g(f(x))$, $ x\in X$, которое называется композицией функций $ f$ и $ g$ и обозначается $ g\circ f$.

Обратная функция

Если $ f:A\to B$-- взаимно-однозначное отображение (биекция), то для любого $ y\in B$ однозначно определен такой элемент $ x\in A$, что $ f(x)=y$. Тем самым однозначно определено соответствие $ y\mapsto x$, называемое обратной функцией по отношению к функции $ f$. Обратная функция для $ f$ обозначается $ f^{-1}$.

Примеры и упражнения

Упражнения

Упражнение 1.6 Пусть $ f(x)=\arcsin x$, $ x\in[-1;1]$, $ g(u)=\cos u$, $ u\in\mathbb{R}$. Тогда определены композиции $ f\circ g$ и $ g\circ f$. Докажите, что при $ x\in[-1;1]$ имеет место равенство $ (g\circ f)(x)=\sqrt{1-x^2}$. Выясните также, чему равна функция $ f\circ g$ и каков её график.

 

Непрерывность функций и точки разрыва

Определение непрерывности функции

Определение Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором интервале $ (a;b)$, для которого $ x_0$-- внутренняя точка. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$

Примеры, упражнения

Определение точек разрыва

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)=\dfrac{\vert x^2-x\vert}{x^2-x}$,

Пример   Функция $ f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ имеет при $ x=0$ разрыв второго рода, так как $ f(x)\to+\infty$ при $ x\to0+$ и  

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)$, заданную равенством $\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\cos^nx.$

Свойства функций, непрерывных в точке

   Теорема Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ непрерывны в точке $ x_0$. Тогда функции $ h_1(x)=f(x)+g(x)$, $ h_2(x)=f(x)-g(x)$, $ h_3(x)=f(x)g(x)$ непрерывны в точке $ x_0$. Если $ g(x_0)\ne0$, то функция $ h_4(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ также непрерывна в точке $ x_0$.

Непрерывность функции на интервале и на отрезке

Определение

Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)=\cos x-x$ на отрезке $ [0;\frac{\pi}{2}]$.

Теорема об ограниченности непрерывной функции

Теорема о достижении экстремума непрерывной функцией

Равномерная непрерывность

Примеры, упражнения

Непрерывность обратной функции

Теорема Пусть $ f$ -- непрерывная монотонная функция, $ \mathcal{D}(f)=[a;b]$, $ \mathcal{E}(f)=[c;d]$. Тогда обратная к $ f$ функция $ {\varphi}$ непрерывна на отрезке $ [c;d]$.

Гиперболические функции и ареа-функции

Гиперболическим синусом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}).$
Гиперболическим косинусом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}).$
Гиперболическим тангенсом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm th}\nolimits x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits x}{\mathop{\rm ch}\nolimits x}.$
Гиперболическим котангенсом называется функция $\displaystyle \mathop{\rm cth}\nolimits x=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\dfrac{... ...\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}=\dfrac{1}{\mathop{\rm th}\nolimits x}.$

Примеры, упражнения

Примеры и упражнения

Пределы при разных условиях. Некоторые частные случаи

Пример

Пример

Общее определение предела

Пример

Замена переменного и преобразование базы при такой замене

Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства

Общие свойства пределов

Первый и второй замечательные пределы

Бесконечно большие величины и бесконечные пределы

Пример

Использование непрерывности функций при вычислении пределов

Сравнение бесконечно малых

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Пример

Упражнения на вычисление пределов

Формула Тейлора представления числовой функции многочленом

Многочлен Тейлора

Коэффициенты Тейлора

Остаток в формуле Тейлора и его оценка

Остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций

Упражнение

Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования

Примеры

Проект ВВЭР-1000 системы передачи и системы коммутации Способы задания функции: табличный,с помощью формулы
Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств