Основные обозначения и определения Обратная функция Функции и их графики

Пример 1.22 Аналогично определяется функция арккосинус (обозначается $ \arccos$ или $ \cos^{-1}$). Это функция, обратная к ограничению функции $ \cos$ на отрезок $ [0;\pi]$ (такое ограничение называется главной ветвью косинуса):
$\displaystyle \arccos:[-1;1]\to[0;\pi],$
$\displaystyle {\varphi}=\arccos x,$ если $\displaystyle \cos{\varphi}=x$ и $\displaystyle {\varphi}\in[0;\pi].$

Рис.1.32.Главная ветвь косинуса

Предел ФКП Дифференцируемость функции комплексной переменной

Пример 1.23 Функция арктангенс (обозначается $ \mathop{\rm arctg}\nolimits $, или $ \mathop{\rm tg}\nolimits ^{-1}$, или $ \tan^{-1}$)-- это функция, обратная к ограничению функции $ \mathop{\rm tg}\nolimits $ на интервал $ (-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$, то есть обратная к главной ветви тангенса:
$\displaystyle \mathop{\rm arctg}\nolimits x=\mathop{\rm tg}\nolimits ^{-1}x,\ x\in(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}).$
Так как $ \mathop{\rm tg}\nolimits \vert _{(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})}:(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R}$-- это биекция, то обратная функция определена при всех $ x\in\mathbb{R}$:
$\displaystyle \mathop{\rm arctg}\nolimits :\mathbb{R}\to(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}),$
$\displaystyle {\varphi}=\mathop{\rm arctg}\nolimits x,$ если $\displaystyle \mathop{\rm tg}\nolimits {\varphi}=x$ и $\displaystyle {\varphi}\in(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}).$

Рис.1.33.Главная ветвь тангенса

Упражнение 1.4 Дайте определение функции арккотангенс (обозначается $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits $), рассмотрев главную ветвь котангенса-- ограничение функции $ \mathop{\rm ctg}\nolimits $ на интервал $ (0;\pi)$.

Упражнение 1.5 Вспомните или выведите простые соотношения, которым удовлетворяют значения функций:
а) $ \arcsin x$ и $ \arccos x$;
б) $ \mathop{\rm arctg}\nolimits x$ и $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits x$.

График обратной функции $ f^{-1}$ получается из графика исходной функции $ f$, если у каждой точки $ (a;b)$ графика $ {\Gamma}_f$ поменять местами координаты $ a$ и $ b$:

$\displaystyle {\Gamma}_{f^{-1}}=\{(b;a):(a;b)\in{\Gamma}_f\}\sbs B\times A,$

так как $ {\Gamma}_f$ состоит из таких точек $ (a;b)\in A\times B$, что $ b=f(a)$, а $ {\Gamma}_{f^{-1}}$-- из таких точек $ (b;a)\in B\times A$, что $ a=f^{-1}(b)$; но, согласно определению обратной функции, равенства $ b=f(a)$ и $ a=f^{-1}(b)$ эквивалентны.

В случае, когда $ A\sbs\mathbb{R}$, $ B\sbs\mathbb{R}$, перестановка координат $ (a;b)\mapsto(b;a)$ геометрически может быть описана как преобразование симметрии относительно прямой $ b=a$, то есть относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Рис.1.34.Симметричные точки графиков функций $ f$ и $ f^{-1}$

Значит (в случае $ A\sbs\mathbb{R}$, $ B\sbs\mathbb{R}$), графики $ {\Gamma}_f$ и $ {\Gamma}_{f^{-1}}$ симметричны относительно этой биссектрисы, если ось, по которой откладываются значения аргумента функции, каждый раз размещать горизонтально.

Рис.1.35.Графики взаимно обратных функций расположены симметрично

Пример 1.24 Согласно с последним замечанием, мы легко построим теперь графики обратных тригонометрических функций $ \arcsin,\ \arccos,\ \mathop{\rm arctg}\nolimits $ и $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits $:
Рис.1.36.Графики главной ветви $ \sin$ и $ \arcsin$
Рис.1.37.Графики главной ветви $ \cos$ и $ \arccos$
Рис.1.38.Графики главной ветви $ \mathop{\rm tg}\nolimits $ и $ \mathop{\rm arctg}\nolimits $
Рис.1.39.Графики главной ветви $ \mathop{\rm ctg}\nolimits $ и $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits $


 

 

Тригонометрическая форма комплексного числа

  Пример 17.5   Запишите в тригонометрической форме числа $ {z_1=2+2i}$ , $ {z_2=-i}$ , $ {z_3=\sqrt3-i}$ , $ {z_4=5}$ . Вычисление определенного интеграла Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике Вычислить интеграл . Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:
Решение. Находим модуль, аргумент, а затем выписываем тригонометрическую форму:
$\displaystyle \vert z_1\vert=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2,\quad \arg z_1=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac22=\frac{\pi}4,$
$\displaystyle z_1=2\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4\right);$
$\displaystyle \vert z_2\vert=\sqrt{0^2+(-1)^2},\quad \arg z_2=-\frac{\pi}2,$
$\displaystyle z_2=\cos\left(-\frac{\pi}2\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}2\right);$
$\displaystyle \vert z_3\vert=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=2,\quad \arg z_3=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{-1}{\sqrt3}= -\frac{\pi}6,$
$\displaystyle z_3=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}6\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}6\right) \right);$
$\displaystyle \vert z_4\vert=\sqrt{5^2+0^2}=5,\quad \arg z_4=0,$
$\displaystyle z_4=5(\cos0+i\sin0).$
        

Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим формулу для возведения комплексного числа в степень $ n$ , где $ n$  -- натуральное число.

Пусть $ {z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ . Тогда

$\displaystyle z^2=z\cdot z=r^2\big(\cos({\varphi}+{\varphi})+i\sin({\varphi}+{\varphi})\big),$

то есть

$\displaystyle z^2=r^2(\cos2{\varphi}+i\sin2{\varphi}).$

Далее находим

$\displaystyle z^3=(z^2)\cdot z=r^3\big(\cos(2{\varphi}+{\varphi})+i\sin(2{\varphi}+{\varphi})\big),$

то есть

$\displaystyle z^3=r^3(\cos3{\varphi}+i\sin3{\varphi}).$

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств