Смешанное произведение Векторная алгебра

Определение 10.28 Смешанным произведением векторов a,b,c называется число ${\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ .

Смешанное произведение будем обозначать abc.

Предложение 10.26 Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители a,b,c компланарны.

Доказательство. По определению ${\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})$ . В силу свойства 8 скалярного произведения (теорема 10.2) ${{\bf a}{\bf b}{\bf c}=0}$ тогда и только тогда, когда векторы a и ${\bf b}\times {\bf c}$ ортогональны. Если ${{\bf b}\times {\bf c}\ne0}$ , то вектор ${\bf b}\times {\bf c}$ ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если ${{\bf b}\times {\bf c}=0}$ , то в силу предложения 10.19 векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны. Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера).Сейчас мы сформулируем и докажем важнейшую в теории ФКП теорему о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости (а, следовательно, аналитичности) функции.

Следующее предложение показывает геометрический смысл смешанного произведения.

Предложение 10.27 Смешанное произведение abc некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, сторонами которого служат векторы a,b,c, взятому со знаком " ", если векторы образуют правую тройку, и со знаком " ", если-- левую.

Доказательство. Пусть ${\bf d}={\bf b}\times {\bf c}$ . По предложению 10.22 $\vert{\bf d}\vert$ равен площади параллелограмма, сторонами которого служат векторы b,c (рис. 10.26, 10.27).

Рис.10.26.Правая тройка

Рис.10.27.Левая тройка

По свойству 7 скалярного произведения (теорема 10.2)

$\displaystyle {\bf a}\cdot({\bf b}\times {\bf c})={\bf a}{\bf d}={\bf d}{\bf a}=\vert{\bf d}\vert Пр_{{\bf d}}{\bf a}.$

(10.7)

Пусть -- высота параллелепипеда (рис. 10.26, 10.27). Если a,b,c-- правая тройка векторов, то ${ Пр_{{\bf d}}{\bf a}=h}$ (рис. 10.26), если a,b,c-- левая тройка, то ${ Пр_{{\bf d}}{\bf a}=-h}$ . Так как ${S\cdot h=V}$ -- объем параллелепипеда, то из формулы(10.7) получим ${{\bf a}{\bf b}{\bf c}=V}$ в случае правой тройки и ${{\bf a}{\bf b}{\bf c}=-V}$ в случае левой тройки сомножителей.

Заметим, что если тройка векторов a,b,c является правой, то тройки c,a,b и b,c,a также будут правыми, а тройки b,a,c, c,b,a и a,c,b будут левыми тройками векторов.

Так как объем параллелепипеда не зависит от того, в каком порядке перечисляются его стороны, то

$\displaystyle {\bf a}{\bf b}{\bf c}={\bf c}{\bf a}{\bf b}={\bf b}{\bf c}{\bf a}=-{\bf b}{\bf a}{\bf c}=-{\bf c}{\bf b}{\bf a}=-{\bf a}{\bf c}{\bf b}.$

(10.8)

Тригонометрическая форма комплексного числа

Пример 17.5 Запишите в тригонометрической форме числа ${z_1=2+2i}$ , ${z_2=-i}$ , ${z_3=\sqrt3-i}$ , ${z_4=5}$ . Вычисление определенного интеграла Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике Вычислить интеграл . Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:

Решение. Находим модуль, аргумент, а затем выписываем тригонометрическую форму:

$\displaystyle \vert z_1\vert=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2,\quad \arg z_1=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac22=\frac{\pi}4,$

$\displaystyle z_1=2\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4\right);$

$\displaystyle \vert z_2\vert=\sqrt{0^2+(-1)^2},\quad \arg z_2=-\frac{\pi}2,$

$\displaystyle z_2=\cos\left(-\frac{\pi}2\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}2\right);$

$\displaystyle \vert z_3\vert=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=2,\quad \arg z_3=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{-1}{\sqrt3}= -\frac{\pi}6,$

$\displaystyle z_3=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}6\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}6\right) \right);$

$\displaystyle \vert z_4\vert=\sqrt{5^2+0^2}=5,\quad \arg z_4=0,$

$\displaystyle z_4=5(\cos0+i\sin0).$

Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим формулу для возведения комплексного числа в степень , где -- натуральное число.

Пусть ${z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ . Тогда

$\displaystyle z^2=z\cdot z=r^2\big(\cos({\varphi}+{\varphi})+i\sin({\varphi}+{\varphi})\big),$
то есть
$\displaystyle z^2=r^2(\cos2{\varphi}+i\sin2{\varphi}).$
Далее находим
$\displaystyle z^3=(z^2)\cdot z=r^3\big(\cos(2{\varphi}+{\varphi})+i\sin(2{\varphi}+{\varphi})\big),$
то есть
$\displaystyle z^3=r^3(\cos3{\varphi}+i\sin3{\varphi}).$