Тригонометрическая форма комплексного числа

Пример 17.5 Запишите в тригонометрической форме числа ${z_1=2+2i}$ , ${z_2=-i}$ , ${z_3=\sqrt3-i}$ , ${z_4=5}$ . Вычисление определенного интеграла Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике Вычислить интеграл . Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:

Решение. Находим модуль, аргумент, а затем выписываем тригонометрическую форму:

$\displaystyle \vert z_1\vert=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2,\quad \arg z_1=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac22=\frac{\pi}4,$

$\displaystyle z_1=2\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}4+i\sin\frac{\pi}4\right);$

$\displaystyle \vert z_2\vert=\sqrt{0^2+(-1)^2},\quad \arg z_2=-\frac{\pi}2,$

$\displaystyle z_2=\cos\left(-\frac{\pi}2\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}2\right);$

$\displaystyle \vert z_3\vert=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=2,\quad \arg z_3=\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{-1}{\sqrt3}= -\frac{\pi}6,$

$\displaystyle z_3=2\left(\cos\left(-\frac{\pi}6\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}6\right) \right);$

$\displaystyle \vert z_4\vert=\sqrt{5^2+0^2}=5,\quad \arg z_4=0,$

$\displaystyle z_4=5(\cos0+i\sin0).$

Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим формулу для возведения комплексного числа в степень , где -- натуральное число.

Пусть ${z=r(\cos {\varphi}+i\sin{\varphi})}$ . Тогда

$\displaystyle z^2=z\cdot z=r^2\big(\cos({\varphi}+{\varphi})+i\sin({\varphi}+{\varphi})\big),$
то есть
$\displaystyle z^2=r^2(\cos2{\varphi}+i\sin2{\varphi}).$
Далее находим
$\displaystyle z^3=(z^2)\cdot z=r^3\big(\cos(2{\varphi}+{\varphi})+i\sin(2{\varphi}+{\varphi})\big),$
то есть
$\displaystyle z^3=r^3(\cos3{\varphi}+i\sin3{\varphi}).$