Пределы Использование непрерывности функций при вычислении пределов


        Пример 2.29   Найдём предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2+\cos x}{\sin x+2e^x}$.
Поскольку функция $ f(x)=\dfrac{x^2+\cos x}{\sin x+2e^x}$ -- элементарная, причём $ x_0=0$ -- точка её области определения (так как $ \sin0+2e^0=2\ne0$), то для нахождения предела достаточно воспользоваться равенством (2.6) и подставить вместо $ x$ предельное значение 0:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}f(x)=\dfrac{0^2+\cos 0}{\sin 0+2e^0}=\frac{1}{2}.$ Матрицы и определители
    
Прямую подстановку использовать нельзя в тех случаях, когда мы не можем вычислить значение элементарной функции, стоящей под знаком предела, в данной предельной точке $ x_0$. В этом случае говорят, что задающее функцию выражение, а также и сам предел представляют собой неопределённость. Выше мы уже встречались с неопределённостями вида $ [1^{\infty}]$. Бывают ещё неопределённости вида $ [\frac{0}{0}]$, $ [\frac{\infty}{\infty}]$, $ [\infty-\infty]$, $ [\infty\cdot0]$ и других видов, заданные выражениями, не имеющими формального смысла. С символами в этих выражениях нельзя обращаться, как с числами в обычных дробях, разностях, произведениях и т. д. В частности, "дроби" $ [\frac{0}{0}]$, $ [\frac{\infty}{\infty}]$ вовсе не всегда означают пределы, значение которых равно единице. Например, $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{2x}{x}=[\frac{0}{0}]=2$, а $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x}=[\frac{0}{0}]=0$; $ \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^3}{2x^3}=[\frac{\infty}{\infty}]=\frac{1}{2}$, а $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\mathop{\rm ctg}\nolimits 2x}{\mathop{\rm ctg}\nolimits 5x}=[\frac{\infty}{\infty}]=\frac{5}{2}.$ (Вычислите все эти пределы в качестве упражнения.) "Разности" вида $ [\infty-\infty]$ отнюдь не всегда обозначают неопределённости, которые после раскрытия предела дадут 0. Например, $ \lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt{x-1}-\sqrt{x-3})=[\infty-\infty]=0$ (здесь на самом деле получается 0), а $ \lim\limits_{x\to\infty}(\sqrt{x^2-2x+3}-\sqrt{x^2-3x+2})=[\infty-\infty]= \frac{1}{2}$.
Так что получается, что вся теория вычисления (нетривиальных) пределов -- это изучение способов раскрытия неопределённостей.
Во многих случаях, чтобы раскрыть неопределённость, достаточно каким-либо образом преобразовать стоящую под знаком предела функцию, после чего нахождение предела сводится к применению общих теорем (о пределе суммы, произведения, частного и т. п.), а также теорем о первом и втором замечательных пределах. Многие такие примеры мы разбирали выше. А вот ещё один типичный пример.
        Пример 2.30   Найдём предел $ \lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-6x+8}$.
Данный предел представляет собой неопределённость, так как при $ x=2$ как числитель, так и знаменатель обращаются в 0 (это неопределённость вида $ \left[\frac{0}{0}\right]$). Так что просто подставить 2 вместо $ x$ в исходную дробь нельзя. Однако если разложить числитель и знаменатель на множители (для чего найдём корни числителя: $ x=1$ и $ x=2$ -- и знаменателя: $ x=2$ и $ x=4$), получим $ x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ и $ x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$, и видно, что дробь (при $ x\ne2$) можно упростить, сократив на $ (x-2)$. Поскольку при $ x\to2$ мы считаем, что $ x\ne2$, то
$\displaystyle \lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-6x+8}=\lim_{x\to2}\dfrac{x-1}{x-4}.$
В последнем пределе дробь $ \dfrac{x-1}{x-4}$ непрерывна при $ x=2$, так как точка 2 входит в область определения этой элементарной функции. Поэтому $ \lim\limits_{x\to2}\dfrac{x-1}{x-4}=\dfrac{2-1}{2-4}=-\dfrac{1}{2}$ и, следовательно,
$\displaystyle \lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-6x+8}=-\dfrac{1}{2}.$
    
        Упражнение 2.7   Найдите предел $ \lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-5x+4}{x^2-4x+3}$. (При этом числитель и знаменатель можно сократить на $ (x-1)$. Ответ: $ \dfrac{3}{2}$.)     
        Упражнение 2.8   Найдите предел $ \lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{\sin^22x}{\sin4x}$. (При этом знаменатель можно представить в виде $ 2\sin2x\cos2x$, а затем сократить дробь на $ \sin2x$. Ответ: 0.)     

Координаты векторов

 

        Определение 18.4   Пусть $ L$  -- $ n$ -мерное линейное пространство, вещественное или комплексное, $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$  -- базис. Тогда произвольный вектор $ a$ из $ L$ представим в виде линейной комбинации векторов базиса:
$\displaystyle a={\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n.$
Числа $ {{\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\ldots,\,{\alpha}_n}$ называются координатами вектора $ a$ в базисе $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ . Столбец $ {{\alpha}=\left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)}$ из координат вектора называется координатным столбцом вектора $ a$ .        
        Предложение 18.3   Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно.

 

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств