Пределы Таблица эквивалентных бесконечно малых

Пример 2.37 Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{5x}-e^{2x}}{\sin7x-\sin3x}$. Для этого в числителе вынесем за скобку $ e^{2x}$, а к знаменателю применим формулу $ {\sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos\dfrac{{\alpha}+{\beta}}{2}\sin\dfrac{{\alpha}-{\beta}}{2}}$, где $ {\alpha}=7x$, $ {\beta}=3x$. Получим

Мы заменили на эквивалентную величину $ 3x$ (учтя при этом, что $ 3x\to0$ при $ x\to0$), $ \sin2x$ на эквивалентную величину $ 2x$ (учтя, что $ 2x\to0$ при $ x\to0$), затем сократили числитель и знаменатель на $ x$ и, наконец, воспользовались тем, что функции $ e^{2x}$ и $ \cos5x$ непрерывны и что $ e^0=1$ и $ \cos0=1$.

Пример 2.38 Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2\sin^23x}{1-\cos x^2}.$ Изменить порядок интегрирования в интеграле .
Заменим в числителе $ \sin^23x$ на эквивалентную величину $ (3x)^2$, а знаменатель $ {1-\cos x^2}$-- на эквивалентную величину $ \dfrac{(x^2)^2}{2}$. После этого можно будет сократить дробь на $ x^4$ и получить ответ:
$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{x^2\sin^23x}{1-\cos x^2}= \lim_{x\to0}\dfrac{x^2\cdot(3x)^2}{\dfrac{(x^2)^2}{2}}= \lim_{x\to0}\dfrac{9x^4}{\dfrac{x^4}{2}}=18.$

Ещё раз обратим внимание читателя, что все формулы таблицы эквивалентных бесконечно малых относятся к базе $ x\to0$. Следовательно, те же эквивалентности имеют место и при односторонних базах $ x\to0+$ и $ x\to0-$. Если же рассматриваемый пример содержит неопределённость вида $ \left[\dfrac{0}{0}\right]$ при какой-либо другой базе, то часто предел можно свести к пределу при "стандартной" базе $ x\to0$ (или $ x\to0+$, или $ x\to0-$) с помощью подходящей замены переменной, а затем воспользоваться табличными эквивалентностями.

Пример 2.39 Вычислим предел $ \lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{1+\cos x}{(x-\pi)^2}$.
Если сделать замену $ t=x-\pi$, то при $ x\to\pi$ новая переменная $ t$ будет, очевидно, стремиться к 0, то есть база $ x\to\pi$ перейдёт при такой замене в "стандартную" базу $ t\to0$. Подставляя $ x=t+\pi$ и учитывая формулу приведения для косинуса, получаем:
$\displaystyle \lim_{x\to\pi}\dfrac{1+\cos x}{(x-\pi)^2}= \lim_{t\to0}\dfrac{1+... ...0}\dfrac{1-\cos t}{t^2}= \lim_{t\to0}\dfrac{\dfrac{t^2}{2}}{t^2}=\dfrac{1}{2}.$
Мы применили табличную формулу $ 1-\cos t\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{t\to0}}\dfrac{t^2}{2}$, а затем сократили дробь на $ t^2$ и получили ответ.

Применяя формулы таблицы эквивалентностей бесконечно малых последовательно, мы можем получать (и использовать для вычисления пределов) цепочки эквивалентностей произвольной длины.

Пример 2.40 Можно, например, получить следующую формулу:
\begin{multline*} e^{\sin^2\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}}-1\mathrel{\mathop{\sim}\lim... ...p{\sim}\limits_{x\to0+}}\dfrac{(\sqrt{x})^2}{2}= \dfrac{x}{2}. \end{multline*}

Здесь мы последовательно воспользовались формулами
$\displaystyle e^{\alpha}-1\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{{\alpha}\to0}}{\alpha}... ...1-\cos{\delta}\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{{\delta}\to0}}\frac{{\delta}^2}{2}$
и учли, что величины $ {\alpha}=\sin^2\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}$, $ {\beta}=\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}$, $ {\gamma}=\cos\sqrt{x}-1$, $ {\delta}=\sqrt{x}$ являются бесконечно малыми при $ x\to0+$.
Используя полученную в результате эквивалентность
$\displaystyle e^{\sin^2\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}}-1\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\to0+}}\dfrac{x}{2},$
мы можем, например, вычислить предел

Изменение координат вектора при изменении базиса

 

 Пример 18.4   Пусть $ {L=\mathbb{R}^3}$ , то есть $ L$  -- трехмерное векторное пространство. Пусть задан ортонормированный базис i, j, k. Выберем другой (новый) базис
$\displaystyle {\bf e}_1={\bf i}+{\bf j}+2{\bf k},\quad {\bf e}_2=2{\bf i}-{\bf j},\quad {\bf e}_3=-{\bf i}+{\bf j}+{\bf k}.$
Возьмем вектор $ {\bf x}=6{\bf i}-{\bf j}+3{\bf k}$ . Найдем его координаты в новом базисе.
Выпишем матрицу перехода, ее столбцы -- это координаты новых базисных векторов
$\displaystyle S=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 1&-1&1\\ 2&0&1\end{array}\right).$
Пусть $ {\beta}=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right)$  -- координатный столбец вектора $ {\bf x}$ в новом базисе. Тогда
 

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств