Основные задачи на прямую и плоскость Аналитическая геометрия

Довольно часто встает следующая задача. Требуется от общих уравнений прямой перейти к параметрическим, которые в некотором смысле являются более удобными. Рассмотрим, как решить такую задачу.

Для того, чтобы написать параметрические уравнения прямой нужно знать координаты какой-нибудь точки на прямой и координаты направляющего вектора. Как найти координаты точки на прямой, мы уже обсуждали выше Направляющий вектор можно найти двумя способами.

Во-первых, можно найти координаты другой точки на этой же прямой и в качестве направляющего вектора взять вектор $\overrightarrow {M_0M_1}$ .

Во-вторых, если заметить, что нормальные векторы ${\bf n}_1$ и ${\bf n}_2$ плоскостей, чьи уравнения образуют систему уравнений для прямой, ортогональны самой прямой, то можно сделать вывод: любой ненулевой вектор, ортогональный векторам ${\bf n}_1$ и ${\bf n}_2$ , можно принять в качестве направляющего вектора p. В частности, можно положить ${{\bf p}={\bf n}_1\times {\bf n}_2}$ .

Пример 11.4 Прямая задана уравнениями

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} 2x-3y+4z+1=0,\\ x+2y-2z+2=0.\end{array}\right.$

(11.15)

Вычислить криволинейный интеграл

Требуется написать ее параметрические уравнения.

Решение. Найдем какую-нибудь точку

на прямой. Положим

. Система(11.15) примет вид

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} 2x-3y+1=0,\\ x+2y+2=0,\end{array}\right.$

Решая ее, находим $x=-\frac 87$ , $y=-\frac 37$ . Таким образом, на прямой лежит точка $M_0\left(-\frac 87;-\frac37;0\right)$ . Найдем направляющий вектор. Нормальными векторами плоскостей, соответствующих уравнениям системы(11.15), являются ${{\bf n}_1=(2;-3;4)}$ , ${{\bf n}_2=(1;2;-2)}$ . Положим ${\bf p}={\bf n}_1\times {\bf n}_2$ . Тогда

$\displaystyle {\bf p}=\left\vert\begin{array}{rrr} {\bf i}&{\bf j}&{\bf k}\\ 2&-3&4\\ 1&2&-2\end{array}\right\vert= -2{\bf i}+8{\bf j}+7{\bf k}.$

Теперь, зная точку и направляющий вектор, можно написать параметрические уравнения прямой.

Ответ: $\left\{\begin{array}{l}x=-2t-\frac87,\\ y=8t-\frac37,\\ z=7t.\end{array}\right.$

Следующая, часто встречающаяся, задача такая:

Дано уравнение плоскости и уравнения прямой. Требуется найти их точку пересечения.

Так как точка пересечения принадлежит и прямой, и плоскости, то она удовлетворяет и уравнению плоскости, и уравнениям прямой. Поэтому для решения задачи нужно объединить уравнение плоскости и уравнения прямой в одну систему и решить ее.

Изменение координат вектора при изменении базиса

Пример 18.4 Пусть ${L=\mathbb{R}^3}$ , то есть -- трехмерное векторное пространство. Пусть задан ортонормированный базис i, j, k. Выберем другой (новый) базис
$\displaystyle {\bf e}_1={\bf i}+{\bf j}+2{\bf k},\quad {\bf e}_2=2{\bf i}-{\bf j},\quad {\bf e}_3=-{\bf i}+{\bf j}+{\bf k}.$

Возьмем вектор ${\bf x}=6{\bf i}-{\bf j}+3{\bf k}$ . Найдем его координаты в новом базисе.

Выпишем матрицу перехода, ее столбцы -- это координаты новых базисных векторов

$\displaystyle S=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 1&-1&1\\ 2&0&1\end{array}\right).$

Пусть ${\beta}=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right)$ -- координатный столбец вектора ${\bf x}$ в новом базисе. Тогда

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств