Определение непрерывности функции


Мы повторим здесь определение непрерывности функции, данное выше, в главе о пределах.

Определение 3.1 Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором интервале $ (a;b)$, для которого $ x_0$-- внутренняя точка. Функция $ f(x)$ называется непрерывной в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$
Пусть функция $ f(x)$ определена на некотором полуинтервале $ [x_0;b)$, для которого $ x_0$-- левый конец. Функция $ f(x)$ называется непрерывной справа в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0+$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть
$\displaystyle \lim_{x\to x_0+}f(x)=f(x_0).$
Убедиться в потенциальности поля вектора ,
Пусть, наконец, функция $ f(x)$ определена на некотором полуинтервале $ (a;x_0]$, для которого $ x_0$-- правый конец. Функция $ f(x)$ называется непрерывной слева в точке $ x_0$, если существует предел $ f(x)$ при $ x\to x_0-$ и этот предел равен значению $ f(x_0)$, то есть
$\displaystyle \lim_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0).$

Из теоремы о связи двустороннего предела с односторонними (теорема 2.1) сразу следует, как уже отмечалось в главе 2, что имеет место следующее предложение.

Предложение 3.1 Функция $ f(x)$ тогда и только тогда непрерывна в точке $ x_0$, когда она непрерывна в точке $ x_0$ справа и слева, то есть когда выполнены следующие условия:
1) функция $ f(x)$ определена в точке $ x_0$ и в некоторой окрестности этой точки;
2) существует предел значений функции слева: $ \lim\limits_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0-)$;
3) существует предел значений функции справа: $ \lim\limits_{x\to x_0-}f(x)=f(x_0+)$;
4) эти два предела совпадают между собой и со значением функции в точке $ x_0$: $ f(x_0-)=f(x_0+)=f(x_0)$.

Рис.3.1.Функция непрерывна: пределы слева и справа совпадают с $ f(x_0)$

Точка $ x_0$, в которой функция непрерывна, называется точкой непрерывности функции $ f(x)$; так же определяются точки непрерывности слева и справа.

Изменение координат вектора при изменении базиса

 

 Пример 18.4   Пусть $ {L=\mathbb{R}^3}$ , то есть $ L$  -- трехмерное векторное пространство. Пусть задан ортонормированный базис i, j, k. Выберем другой (новый) базис
$\displaystyle {\bf e}_1={\bf i}+{\bf j}+2{\bf k},\quad {\bf e}_2=2{\bf i}-{\bf j},\quad {\bf e}_3=-{\bf i}+{\bf j}+{\bf k}.$
Возьмем вектор $ {\bf x}=6{\bf i}-{\bf j}+3{\bf k}$ . Найдем его координаты в новом базисе.
Выпишем матрицу перехода, ее столбцы -- это координаты новых базисных векторов
$\displaystyle S=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 1&-1&1\\ 2&0&1\end{array}\right).$
Пусть $ {\beta}=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right)$  -- координатный столбец вектора $ {\bf x}$ в новом базисе. Тогда
 

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств