Определение непрерывности функции

 

Пример 3.1 Пусть $ f(x)=\sqrt{\vert x\vert}$ и $ x_0=0$. Тогда $ \lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\sqrt{\vert x\vert}=0$ и $ {f(0)=\sqrt{0}=0}$. Эти значения совпадают, значит, функция $ f$ непрерывна в точке $ x_0=0$.
(Функция $ f(x)=\sqrt{\vert x\vert}=(x^2)^{\frac{1}{4}}$-- элементарная функция; $ x_0=0$-- точка её области определения . Все элементарные функции непрерывны во всех внутренних точках своих областей определения, в том числе и эта. Так что в этом примере можно было бы заменить $ f(x)$ $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$любой элементарной функцией, а $ x_0=0$-- любой внутренней точкой области $ \mathcal{D}(f)$, и вывод остался бы тем же.)

Пример 3.2 Рассмотрим функцию $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\dfrac{\sin x}{x},&\mbox{при }x\ne0;\\ 1,&\mbox{при }x=0\end{array}\right.$ и точку $ {x_0=0}$. При $ {x\ne0}$ функция задаётся формулой $ {f(x)=\dfrac{\sin x}{x}}$, при этом имеем $ {\lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1}$ (первый замечательный предел). Это значение совпадает с тем, которое задано при $ x=0$: $ f(0)=1$. Итак, $ \lim\limits_{x\to0}f(x)=f(0)=1$, что означает непрервыность функции $ f$ при $ x_0=0$. Исходя из определения производной, найти f ¢(0) для f(x)=

Тем, кто внимательно изучил данное в главе 2 общее понятие базы предела, можно предложить продумать и доказать следующее утверждение:

Предложение 3.2 Пусть $ \mathcal{B}(x_0)$-- база непроколотых окрестностей точки $ x_0$, окончаниями которой служат интервалы $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$, $ {\delta}>0$; $ \mathcal{B}(x_0-)$-- база непроколотых левых окрестностей точки $ x_0$, окончаниями которой служат полуинтервалы $ (x_0-{\delta};x_0]$, $ {\delta}>0$; $ \mathcal{B}(x_0+)$-- база непроколотых правых окрестностей точки $ x_0$, окончаниями которой служат полуинтервалы $ [x_0;x_0+{\delta})$, $ {\delta}>0$. Тогда непрерывность функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ эквивалентна тому, что существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0)}f(x)$; непрерывность слева в точке $ x_0$-- тому, что существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0-)}f(x)$; непрерывность справа в точке $ x_0$-- тому, что существует предел $ \lim\limits_{\mathcal{B}(x_0+)}f(x)$.

 

Изменение координат вектора при изменении базиса

 

 Пример 18.4   Пусть $ {L=\mathbb{R}^3}$ , то есть $ L$  -- трехмерное векторное пространство. Пусть задан ортонормированный базис i, j, k. Выберем другой (новый) базис
$\displaystyle {\bf e}_1={\bf i}+{\bf j}+2{\bf k},\quad {\bf e}_2=2{\bf i}-{\bf j},\quad {\bf e}_3=-{\bf i}+{\bf j}+{\bf k}.$
Возьмем вектор $ {\bf x}=6{\bf i}-{\bf j}+3{\bf k}$ . Найдем его координаты в новом базисе.
Выпишем матрицу перехода, ее столбцы -- это координаты новых базисных векторов
$\displaystyle S=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 1&-1&1\\ 2&0&1\end{array}\right).$
Пусть $ {\beta}=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right)$  -- координатный столбец вектора $ {\bf x}$ в новом базисе. Тогда
 

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств