Непрерывность функций Равномерная непрерывност

 

Напомним, что непрерывность функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ означает, что $ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$, то есть
$ \forall{\varepsilon}>0\ \exists{\delta}>0\ \forall x\in I: \vert x-x_0\vert<{\delta}\Longrightarrow \vert f(x)-f(x_0)\vert<{\varepsilon}.$
Тем самым непрерывность функции $ f$ на интервале или отрезке $ I\sbs\mathcal{D}(f)$ означает, что
$ \forall x_0\in I\ \forall{\varepsilon}>0\ \exists{\delta}>0\ \forall x\in I: \vert x-x_0\vert<{\delta}\Longrightarrow \vert f(x)-f(x_0)\vert<{\varepsilon}.$
При этом мы имеем право выбирать число $ {\delta}>0$ в зависимости от $ {\varepsilon}$ и, главное, от точки $ x_0\in I$.

Предположим теперь, что число $ {\delta}>0$ можно выбрать общим для всех $ x_0\in I$ (но, конечно, зависящим от $ {\varepsilon}$). Тогда говорят, что свойство функции быть непрерывной в точке $ x_0$ выполнено равномерно по $ x_0\in I$.

Дадим теперь такое

Вычислить тройной интеграл , где

        Определение 3.5   Пусть $ f$ -- некоторая функция и $ I\sbs\mathcal{D}(f)$. Функция $ f$ равномерно непрерывна на $ I$, если
$ \forall{\varepsilon}>0\ \exists{\delta}>0\ \forall x_0,x\in I: \vert x-x_0\vert<{\delta}\Longrightarrow \vert f(x)-f(x_0)\vert<{\varepsilon}.$     

Приведём пример равномерно непрерывной функции.

        Пример 3.15   Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x$ и покажем, что она равномерно непрерывна на всей числовой оси $ \mathbb{R}$. Фиксируем число $ {\varepsilon}>0$ и положим $ {\delta}={\varepsilon}$. Выберем теперь любые две точки $ x$ и $ x_0$, такие что $ \vert x-x_0\vert<{\varepsilon}$, и покажем, что тогда $ {\vert\sin x-\sin x_0\vert<{\varepsilon}}$. Действительно,
$\displaystyle \vert\sin x-\sin x_0\vert=\left\vert 2\cos\dfrac{x+x_0}{2}\sin\df... ...left\vert\dfrac{x-x_0}{2}\right\vert= \vert x-x_0\vert\leqslant {\varepsilon},$   
 

так как, во-первых, $ \left\vert\cos\dfrac{x-x_0}{2}\right\vert\leqslant 1$ при всех $ x$ и $ x_0$ и, во-вторых, $ \vert\sin{\alpha}\vert\leqslant \vert{\alpha}\vert$ при всех $ {\alpha}\in\mathbb{R}$ (у нас $ {\alpha}=x-x_0$). Таким образом. равномерная непрерывность функции $ \sin$ доказана.     

Лучше изучить условие равномерности по $ x_0$ мы сможем, приведя пример, где оно нарушается.

Метод простых итераций Приближённое нахождение корней уравнений

 

        Теорема 9.3   Если функция $ {\varphi}(x)$ имеет производную в некоторой окрестности $ E$ корня $ x^*$ уравнения $ x={\varphi}(x)$, причём $ \vert{\varphi}'(x)\vert\leqslant {\gamma}<1$ при $ x\in E$, то последовательность итераций $ x_{i+1}={\varphi}(x_i)$, полученных при $ i=1,2,3,\dots$, начиная с $ x_0\in E$, сходится к корню $ x^*$.
При этом скорость сходимости задаётся неравенствами
$\displaystyle \vert x_i-x^*\vert\leqslant {\gamma}^i\vert x_0-x^*\vert,\quad i=1,2,3,\dots,$
где $ 2{\delta}$ -- длина окрестности $ E$, а точность $ i$-го приближения -- оценкойпримеры к выполнению контрольной работы по математике
$\displaystyle \vert x_i-x^*\vert\leqslant 2{\delta}{\gamma}^i.$
        Доказательство.     Пусть $ x_0\in E$. По формуле конечных приращений, применённой к отрезку между точками $ x_0$ и $ x^*$, получаем

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств