Парабола Кривые и поверхности второго порядка

 

   Пример 12.6   Постройте параболу $ y^2=3x$ . Найдите ее фокус и директрису.
Решение. Уравнение является каноническим уравнением параболы, $ {2p=3}$ , $ {p=1.5}$ . Осью параболы служит ось $ Ox$ , вершина находится в начале координат, ветви параболы направлены вдоль оси $ Ox$ . Для построения найдем несколько точек параболы. Для этого придаем значения переменному $ y$ и находим значения $ x$ . Возьмем точки $ \left(\frac13;1\right)$ , $ \left(\frac43;2\right)$ , $ (3;3)$ . Учитывая симметрию относительно оси $ Ox$ , рисуем кривую (рис. 12.17)

Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.



Рис.12.17.Парабола, заданная уравнением $ y^2=3x$

Фокус $ F$ лежит на оси $ Ox$ на расстоянии $ \frac p2$ от вершины, то есть имеет координаты $ (0.75;0)$ . Директриса $ l$ имеет уравнение $ {x=-\frac p2}$ , то есть $ x=-0.75$ .         

Парабола так же, как и эллипс, обладает свойством, связанным с отражением света (рис. 12.18). Свойство сформулируем опять без доказательства.

        Предложение 12.5   Пусть $ F$  -- фокус параболы, $ M$  -- произвольная точка параболы, $ l$  -- луч с началом в точке $ M$ параллельный оси параболы. Тогда нормаль к параболе в точке $ M$ делит угол, образованный отрезком $ FM$ и лучом $ l$ , пополам.     




Рис.12.18.Отражение светового луча от параболы


Это свойство означает, что луч света, вышедший из фокуса $ F$ , отразившись от параболы, дальше пойдет параллельно оси этой параболы. И наоборот, все лучи, приходящие из бесконечности и параллельные оси параболы, сойдутся в ее фокусе. Это свойство широко используется в технике. В прожекторах обычно ставят зеркало, поверхность которого получается при вращении параболы вокруг ее оси симметрии (параболическое зеркало). Источник света в прожекторах помещают в фокусе параболы. В результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света. Это же свойство используется и в приемных антеннах космической связи и в зеркалах телескопов, которые собирают поток параллельных лучей радиоволн или поток параллельных лучей света и концентрируют его в фокусе зеркала.


Метод простых итераций Приближённое нахождение корней уравнений

 

        Теорема 9.3   Если функция $ {\varphi}(x)$ имеет производную в некоторой окрестности $ E$ корня $ x^*$ уравнения $ x={\varphi}(x)$, причём $ \vert{\varphi}'(x)\vert\leqslant {\gamma}<1$ при $ x\in E$, то последовательность итераций $ x_{i+1}={\varphi}(x_i)$, полученных при $ i=1,2,3,\dots$, начиная с $ x_0\in E$, сходится к корню $ x^*$.
При этом скорость сходимости задаётся неравенствами
$\displaystyle \vert x_i-x^*\vert\leqslant {\gamma}^i\vert x_0-x^*\vert,\quad i=1,2,3,\dots,$
где $ 2{\delta}$ -- длина окрестности $ E$, а точность $ i$-го приближения -- оценкойпримеры к выполнению контрольной работы по математике
$\displaystyle \vert x_i-x^*\vert\leqslant 2{\delta}{\gamma}^i.$
        Доказательство.     Пусть $ x_0\in E$. По формуле конечных приращений, применённой к отрезку между точками $ x_0$ и $ x^*$, получаем

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств