Параллельный перенос системы координат

 

Пусть на плоскости заданы две декартовы прямоугольные системы координат: $ xOy$ ("старая") и $ \tilde xO_1\tilde y$ ("новая"), причем как оси абсцисс, так и оси ординат обеих систем параллельны и одинаково направлены (рис. 12.19)




Рис.12.19.Параллельный перенос системы координат

Вычислим объем шара радиуса R. В этом случае подынтегральную функцию надо взять равной 1, и мы получим

В этом случае говорят, что одна система координат получается из другой "параллельным переносом".

Пусть начало $ O_1$ "новой" системы координат имеет в "старой" системе координат координаты $ (x_1;y_1)$ , и пусть $ M$  -- некоторая точка плоскости. Обозначим координаты точки $ M$ в "старой" системе координат $ (x_0;y_0)$ , а в "новой" -- $ (\tilde x_0;\tilde y_0)$ . Из рис. 12.19 ясно, что $ {x_0=x_1+\tilde x_0}$ , $ {y_0=y_1+\tilde y_0}$ . Откуда $ {\tilde x_0=x_0-x_1}$ , $ {\tilde y_0=y_0-y_1}$ . Так как точка $ M$ взята произвольно, то индекс 0 в записи ее координат, как "старых", так и "новых", можно убрать. Получаем связь между "старыми" и "новыми" координатами точки при параллельном переносе осей координат:

$\displaystyle \tilde x=x-x_1,\quad\tilde y=y-y_1.$(12.11)

Выясним теперь, как связаны друг с другом уравнения одной и той же кривой в "старых" и "новых" координатах.

        Предложение 12.6   Пусть некоторая кривая задана уравнением $ {F(x,y)=0}$ . Тогда в системе координат $ \tilde xO_1\tilde y$ , полученной параллельным переносом, с началом в точке $ O_1(x_1;y_1)$ уравнение кривой будет иметь вид $ {F(\tilde x+x_1;\tilde y+y_1)=0}$ .     

Однако, для практического использования это предложение удобнее сформулировать немного подругому.

        Предложение 12.7   Пусть некоторая кривая задана уравнением $ {F(x-x_1;y-y_1)=0}$ . Тогда в системе координат $ \tilde xO_1\tilde y$ , полученной параллельным переносом, с началом в точке $ O_1(x_1;y_1)$ уравнение кривой будет иметь вид $ {F(\tilde x;\tilde y)=0}$ .     

Доказательство обоих предложений очевидным образом следует из формул (12.11) связи между старыми и новыми координатами.

Метод простых итераций Приближённое нахождение корней уравнений

 

        Теорема 9.3   Если функция $ {\varphi}(x)$ имеет производную в некоторой окрестности $ E$ корня $ x^*$ уравнения $ x={\varphi}(x)$, причём $ \vert{\varphi}'(x)\vert\leqslant {\gamma}<1$ при $ x\in E$, то последовательность итераций $ x_{i+1}={\varphi}(x_i)$, полученных при $ i=1,2,3,\dots$, начиная с $ x_0\in E$, сходится к корню $ x^*$.
При этом скорость сходимости задаётся неравенствами
$\displaystyle \vert x_i-x^*\vert\leqslant {\gamma}^i\vert x_0-x^*\vert,\quad i=1,2,3,\dots,$
где $ 2{\delta}$ -- длина окрестности $ E$, а точность $ i$-го приближения -- оценкойпримеры к выполнению контрольной работы по математике
$\displaystyle \vert x_i-x^*\vert\leqslant 2{\delta}{\gamma}^i.$
        Доказательство.     Пусть $ x_0\in E$. По формуле конечных приращений, применённой к отрезку между точками $ x_0$ и $ x^*$, получаем

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств