Непрерывность функций Гиперболические функции и ареа-функции

Для рассмотрения дальнейших примеров нам понадобится определение гиперболических функций и ареа-функций, обратных к гиперболическим.

Определение 3.6 Гиперболическим синусом называется функция
$\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x}).$
Гиперболическим косинусом называется функция
$\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x}).$
Гиперболическим тангенсом называется функция
$\displaystyle \mathop{\rm th}\nolimits x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\dfrac{\mathop{\rm sh}\nolimits x}{\mathop{\rm ch}\nolimits x}.$
Гиперболическим котангенсом называется функция
$\displaystyle \mathop{\rm cth}\nolimits x=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}=\dfrac{... ...\nolimits x}{\mathop{\rm sh}\nolimits x}=\dfrac{1}{\mathop{\rm th}\nolimits x}.$ Двойной интеграл в полярных координатах

Рис.3.26.Графики гиперболических функций

Функции $ \mathop{\rm sh}\nolimits x$, $ \mathop{\rm th}\nolimits x$ и $ \mathop{\rm cth}\nolimits x$-- нечётные; функция $ \mathop{\rm ch}\nolimits x$-- чётная. Области определения гиперболических функций таковы:

$\displaystyle \mathcal{D}(\mathop{\rm sh}\nolimits )=\mathbb{R}, \mathcal{D}(... ...mathbb{R}, \mathcal{D}(\mathop{\rm cth}\nolimits )=\mathbb{R}\diagdown \{0\};$

области значений-- следующие:

$\displaystyle \mathcal{E}(\mathop{\rm sh}\nolimits )=\mathbb{R}, \mathcal{E}(... ...)=(-1;1), \mathcal{E}(\mathop{\rm cth}\nolimits )=(-\infty;-1)\cup(1;\infty).$

Упражнение 3.1 Докажите сделанные утверждения о том, какой вид имеют области значений гиперболических функций.

Замечание 3.2 В англоязычной литературе используется обозначение $ \sinh$ вместо $ \mathop{\rm sh}\nolimits $, $ \cosh$ вместо $ \mathop{\rm ch}\nolimits $, $ \tanh$ вместо $ \mathop{\rm th}\nolimits $, $ \coth$ вместо $ \mathop{\rm cth}\nolimits $.

Некоторые из свойств гиперболических функций схожи (но не всегда в точности совпадают) со свойствами соответствующих тригонометрических функций. Например, имеют место формулы:

$\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits ^2x-\mathop{\rm sh}\nolimits ^2x=1;$
$\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits 2x=2\mathop{\rm sh}\nolimits x\mathop{\rm ch}\nolimits x;$
$\displaystyle \mathop{\rm ch}\nolimits (x+y)=\mathop{\rm ch}\nolimits x\mathop{\rm ch}\nolimits y+\mathop{\rm sh}\nolimits x\mathop{\rm sh}\nolimits y;$
$\displaystyle \mathop{\rm sh}\nolimits (x+y)=\mathop{\rm sh}\nolimits x\mathop{\rm ch}\nolimits y+\mathop{\rm ch}\nolimits x\mathop{\rm sh}\nolimits y$


и многие другие формулы, аналогичные известным формулам тригонометрии.

Метод простых итераций Приближённое нахождение корней уравнений

 

        Теорема 9.3   Если функция $ {\varphi}(x)$ имеет производную в некоторой окрестности $ E$ корня $ x^*$ уравнения $ x={\varphi}(x)$, причём $ \vert{\varphi}'(x)\vert\leqslant {\gamma}<1$ при $ x\in E$, то последовательность итераций $ x_{i+1}={\varphi}(x_i)$, полученных при $ i=1,2,3,\dots$, начиная с $ x_0\in E$, сходится к корню $ x^*$.
При этом скорость сходимости задаётся неравенствами
$\displaystyle \vert x_i-x^*\vert\leqslant {\gamma}^i\vert x_0-x^*\vert,\quad i=1,2,3,\dots,$
где $ 2{\delta}$ -- длина окрестности $ E$, а точность $ i$-го приближения -- оценкойпримеры к выполнению контрольной работы по математике
$\displaystyle \vert x_i-x^*\vert\leqslant 2{\delta}{\gamma}^i.$
        Доказательство.     Пусть $ x_0\in E$. По формуле конечных приращений, применённой к отрезку между точками $ x_0$ и $ x^*$, получаем

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности Тут можно skype скачать бесплатно бесплатно на этом полезном сайте
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств