Касательная к кривой на плоскости

 

 Определение 4.2   Число $ k_{x_0}$, в случае если задающий его предел существует, называют производной функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ и обозначают $ f'(x_0)$. Иногда для уточнения говорят, что производная вычислена по переменной $ x$.     

Поскольку мы знаем, что уравнение прямой, проходящей через точку $ (x_0;y_0)$ с угловым коэффициентом $ k=\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}$, -- это $ Y=y_0+k(x-x_0)$ (где $ (x;Y)$ -- текущая точка прямой), то мы можем теперь выписать уравнение касательной к графику $ y=f(x)$ при $ {x=x_0}$, то есть касательной, проходящей через точку $ (x_0;f(x_0))$ с угловым коэффициентом, равным производной $ k_{x_0}=f'(x_0)$ функции $ f(x)$ в точке $ x_0$: Частные производные ФНП, заданной неявно

$\displaystyle Y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$

Пусть дана некоторая кривая $ y=f(x)$, и в точке $ (x_0;y_0)$ к этой кривой проведена касательная. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью к линии $ y=f(x)$.

Рис.4.2.Касательная и нормаль к линии $ y=f(x)$

Если касательная имеет угловой коэффициент $ k=\mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}$, то нормаль имеет угловой коэффициент $ k_1=-\dfrac{1}{k}=-\mathop{\rm ctg}\nolimits {\alpha}$, поскольку ввиду перпендикулярности нормали и касательной угол наклона нормали равен $ {\beta}={\alpha}+\frac{\pi}{2}$, а $ k_1=\mathop{\rm tg}\nolimits {\beta}=\mathop{\rm tg}\nolimits ({\alpha}+\frac{\pi}{2})=-\mathop{\rm ctg}\nolimits {\alpha}.$ Поэтому уравнение нормали к линии $ y=f(x)$, проведённой через точку $ (x_0;y_0)$, имеет вид:

$\displaystyle Y=y_0-\dfrac{1}{k}(x-x_0),$

или

$\displaystyle Y=f(x_0)-\dfrac{1}{f'(x_0)}(x-x_0).$

 

 

Сравнение бесконечно больших величин

  Пример   Рассмотрим функцию $ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{x},&\mbox{ при }x\ne0;\\ 1,&\mbox{ при }x=0. \end{array}\right.$ Эта функция непрерывна справа в точке $ x=0$. Найдём её производную справа в точке 0, сделав при этом замену $ z=\dfrac{1}{h}$ :
$\displaystyle f'(0)=\lim_{h\to0+}\dfrac{\mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{h}-1... ...p{\rm th}\nolimits z-1}{\dfrac{1}{z}}= \lim_{z\to+\infty}\dfrac{-2z}{e^z+1}=0,$
поскольку, как мы выяснили выше, экспонента $ e^z$ растёт быстрее $ z$ при $ z\to+\infty$.
Во всех остальных точках $ x\ne0$ производная вычисляется с помощью правил дифференцирования:

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств