Производная композиции


Пусть $ f(u)$ и $ {\varphi}(x)$ -- такие числовые функции, что определена их композиция $ g(x)=(f\circ{\varphi})(x)=f({\varphi}(x))$. Предположим, что функция $ {\varphi}(x)$ определена в некоторой окрестности точки $ x_0$, а функция $ f(u)$ -- в некоторой окрестности точки $ u_0={\varphi}(x_0)$. Тогда имеет место следующее утверждение.

        Теорема 4.4   Если функция $ {\varphi}(x)$ имеет производную $ {\varphi}'(x_0)$, а функция $ f(u)$ -- производную $ f'(u_0)$, то композиция $ g(x)=f({\varphi}(x))$ имеет производную
$\displaystyle g'(x_0)=f'(u_0){\varphi}'(x_0).$(4.13)
 

        Доказательство.     Рассмотрим приращение функции $ g(x)$, соответствующее приращению $ {\Delta}x=h$ переменного $ x$:

Решение примерного варианта контрольной работы №2

Задача . Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области D, ограниченной заданными линиями: . Построить чертеж области интегрирования.

$\displaystyle {\Delta}g(x_0;h)=g(x_0+h)-g(x_0)=f({\varphi}(x_0+h))-f({\varphi}(x_0))= {\Delta}f(u_0;{\Delta}{\varphi}),$

где $ u_0={\varphi}(x_0)$ и $ {\Delta}{\varphi}-{\varphi}(x_0+h)-{\varphi}(x_0)$. Так как функция $ f(u)$ имеет дифференциал в точке $ u_0$ (см.  теорему 4.3), то

$\displaystyle {\Delta}f(u_0;{\Delta}{\varphi})=f'(u_0){\Delta}{\varphi}+{\alpha... ...arphi}(x_0)h+{\beta}(x_0;h)h)+{\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\Delta}{\varphi},$

где $ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi})\to0$ при $ {\Delta}{\varphi}\to0$ и $ {\beta}(x_0;h)\to0$ при $ h\to0$. Раскрываем скобки далее:

$\displaystyle {\Delta}g(x_0;h)=f'(u_0){\varphi}'(x_0)h+f'(u_0){\beta}(x_0;h)h+{... ...ta}{\varphi}){\varphi}'(x_0)h+ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\beta}(x_0;h)h=$   
$\displaystyle =f'(u_0){\varphi}(x_0)h+h[ f'(u_0){\beta}(x_0;h)+{\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\varphi}'(x_0)+ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\beta}(x_0;h)].$   
 


Теперь, в соответствии с теоремой 4.3, осталось доказать, что в последней формуле в квадратных скобках стоит величина, бесконечно малая при $ h\to0$. Первое слагаемое $ f'(u_0){\beta}(x_0;h)$ бесконечно мало, поскольку $ f'(u_0)$ вообще не зависит от $ h$, а $ {\beta}(x_0;h)$ -- бесконечно малая при базе $ h\to0$. Во втором слагаемом $ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\varphi}'(x_0)$ постоянной является величина $ {\varphi}'(x_0)$. Покажем, что $ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi})={\alpha}(u_0;{\varphi}(x_0+h)-{\varphi}(x_0))\to0$ при $ h\to0$. Так как функция $ {\varphi}(x)$ имеет производную при $ x=x_0$, то $ {\varphi}(x)$ непрерывна в точке $ x_0$, откуда $ {\varphi}(x_0+h)\to{\varphi}(x_0)$ и, следовательно, $ {\Delta}{\varphi}={\varphi}(x_0+h)-{\varphi}(x_0)\to0$ при $ h\to0$. Поэтому $ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi})\to0$ при $ h\to0$, по предположению о величине $ {\alpha}$. Для третьего слагаемого $ {\alpha}(u_0;{\Delta}{\varphi}){\beta}(x_0;h)$ заметим, что $ {\alpha}$, как только что было доказано, есть бесконечно малая и, следовательно, локально ограниченная функция при $ h\to0$, а $ {\beta}$ -- бесконечно малая. Значит, их произведение также бесконечно мало при $ h\to0$. Тем самым, в квадратных скобках стоит сумма трёх бесконечно малых, которая также является бесконечно малой величиной. Теорема доказана.     

        Замечание 4.9   Мы можем пояснить происхождение формулы (4.13), то есть формулы $ y'=f'\cdot{\varphi}'$, где $ y=f(u),u={\varphi}(x)$, записав её в виде
$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}.$
Эта формула получается предельным переходом из очевидного равенства
$\displaystyle \dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}x}=\dfrac{{\Delta}y}{{\Delta}u}\cdot\dfrac{{\Delta}u}{{\Delta}x},$
однако такое доказательство формулы (4.13) имеет существенный недостаток, поскольку ниоткуда не следует, что $ {\Delta}u\ne0$ при всех $ {\Delta}x=h\ne0$. Тем не менее, смысл формулы для производной композиции функций при этом, несомненно, проясняется.     
    

Сравнение бесконечно больших величин

    Пример 5.9   При $ x\to+\infty$ рассмотрим функции $ f(x)=x^{{\varepsilon}}$ ( $ {\varepsilon}>0$) и $ g(x)=\log_ax$ ($ a>1$). Покажем, что при всех таких $ {\varepsilon}$ и $ a$ имеет место соотношение
$\displaystyle \log_ax\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{x\to+\infty}}x^{{\varepsilon}},$
то есть логарифм имеет меньший порядок роста при $ x\to+\infty$, чем любая положительная степень $ x^{{\varepsilon}}$.
Для доказательства вычислим предел $ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\log_ax}{x^{{\varepsilon}}}.$ Поскольку это предел отношения двух бесконечно больших, можно применить правило Лопиталя: Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике
    
        Упражнение 5.2   Докажите, что $ x^{{\varepsilon}}$ при любом, как угодно малом $ {\varepsilon}>0$ имеет больший порядок роста при $ x\to+\infty$, чем любая, сколь угодно большая степень логарифма $ (\log_ax)^N$, ($ a>1$, $ N>0$).
        Упражнение 5.3   Докажите, что при $ x\to0+$ степенные функции $ x^{-a}$, $ a>0$, имеют тем больший порядок роста, чем больше значение $ a$.     
      

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств