Инвариантность дифференциала


Рассмотрим функцию $ y=f(u)$. Если предположить, что $ u$ -- независимая переменная, то

$\displaystyle dy=df(u;du)=f'_u(u)du.$

Если же рассматривать переменную $ u$ как промежуточный аргумент, зависящий от независимого переменного $ x$, то есть $ u={\varphi}(x)$, то $ y=f({\varphi}(x))$ -- это композиция, и дифференциал $ dy$ можно найти, применив формулу для производной сложной функции:

Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а

 

$\displaystyle dy{=}d(f\circ{\varphi})(x;dx)=(f\circ{\varphi})'_xdx= \Bigl(f'_u... ...phi}'(x)\Bigr)dx= f'_u({\varphi}(x))\Bigl({\varphi}'(x)dx\Bigr)=f'(u)du(x;dx),$

 

поскольку $ du(x;dx)={\varphi}'(x)dx$. Так что и в этом случае, как и в случае независимой переменной $ u$, верна формула $ dy=f'(u)du$, только теперь $ du$ понимается как дифференциал функции, а не независимого переменного.

Тот факт, что во всех случаях, независимо от предположения о том, чем является переменная $ u$, формула $ dy=f'(u)du$ имеет место, называется инвариантностью дифференциала.

Сравнение бесконечно больших величин

    Пример 5.9   При $ x\to+\infty$ рассмотрим функции $ f(x)=x^{{\varepsilon}}$ ( $ {\varepsilon}>0$) и $ g(x)=\log_ax$ ($ a>1$). Покажем, что при всех таких $ {\varepsilon}$ и $ a$ имеет место соотношение
$\displaystyle \log_ax\mathrel{\mathop{\prec}\limits_{x\to+\infty}}x^{{\varepsilon}},$
то есть логарифм имеет меньший порядок роста при $ x\to+\infty$, чем любая положительная степень $ x^{{\varepsilon}}$.
Для доказательства вычислим предел $ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\log_ax}{x^{{\varepsilon}}}.$ Поскольку это предел отношения двух бесконечно больших, можно применить правило Лопиталя: Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике
    
        Упражнение 5.2   Докажите, что $ x^{{\varepsilon}}$ при любом, как угодно малом $ {\varepsilon}>0$ имеет больший порядок роста при $ x\to+\infty$, чем любая, сколь угодно большая степень логарифма $ (\log_ax)^N$, ($ a>1$, $ N>0$).
        Упражнение 5.3   Докажите, что при $ x\to0+$ степенные функции $ x^{-a}$, $ a>0$, имеют тем больший порядок роста, чем больше значение $ a$.     
      

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств