Сводка основных результатов о производных


Для удобства приведём полученные выше результаты в виде таблицы. Всюду в этой таблице $ u$ и $ v$ -- функции переменного $ x$, $ c$ -- постоянная. Производные элементарных функций приведены в предположении, что $ u=u(x)$ -- промежуточный аргумент сложной функции.

Направление вектора определяется углами , образованными им с осями координат  Косинусы этих углов (направляющие косинусы вектора) определяются по формулам

Правила дифференцирования
1$ (u+v)'=u'+v'$Эти два свойства выражают
2$ (cu)'=cu'$линейность операции дифференцирования
3$ (u-v)'=u'-v'$ 
4$ (uv)'=u'v+v'u$ 
5$ \bigl(\dfrac{u}{v}\bigr)'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$ 
6$ (f(u(x))'_x=f'_u(u(x))\cdot u'(x)$ 
7$ df(x;dx)=f'_x(x)dx$(и в том случае, когда $ x=x(t)$)
8Если функция $ {\varphi}(y)$ -- обратная к $ f(x)$,то $ {\varphi}'_y(y)=\dfrac{1}{f'({\varphi}(y))}$
9Если $ x={\varphi}(t),\;y=\psi(t)$,то $ y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}=\dfrac{\psi'(t)}{{\varphi}'(t)}$ (см. ниже)
   

Производные элементарных функций

1$ c'=0$ 
2 $ (u^n)'_x=nu^{n-1}\cdot u'_x,\; n\in\mathbb{R}$ 
3$ (a^u)'_x=a^u\ln a\cdot u'_x,\; a>0,a\ne1$,в частности, $ (e^u)'_x=e^uu'_x$
4$ (\log_au)'_x=\dfrac{u'_x}{u\ln a},\; a>0,a\ne1$,в частности, $ (\ln u)'_x=\dfrac{u'_x}{u}$
5$ (\sin u)'_x=\cos u\cdot u_x$ 
6$ (\cos u)'_x=-\sin u\cdot u_x$ 
7$ (\mathop{\rm tg}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{\cos^2x}=(1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2u)u'_x$ 
8$ (\mathop{\rm ctg}\nolimits u)'_x=-\dfrac{u'_x}{\sin^2x}=-(1+\mathop{\rm ctg}\nolimits ^2u)u'_x$ 
9$ (\arcsin u)'_x=\dfrac{u'_x}{\sqrt{1-u^2}}$ 
10$ (\arccos u)'_x=-\dfrac{u'_x}{\sqrt{1-u^2}}$ 
11$ (\mathop{\rm arctg}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{1+u^2}$ 
12$ (\mathop{\rm arcctg}\nolimits u)'_x=-\dfrac{u'_x}{1+u^2}$ 
13$ (\mathop{\rm sh}\nolimits u)'_x=\mathop{\rm ch}\nolimits u\cdot u'_x$ 
14$ (\mathop{\rm ch}\nolimits u)'_x=\mathop{\rm sh}\nolimits u\cdot u'_x$ 
15$ (\mathop{\rm th}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{\mathop{\rm ch}\nolimits ^2u}=(1-\mathop{\rm th}\nolimits ^2u)u'_x$ 
16$ (\mathop{\rm cth}\nolimits u)'_x=-\dfrac{u'_x}{\mathop{\rm sh}\nolimits ^2u}=(1-\mathop{\rm cth}\nolimits ^2u)u'_x$ 
17 $ (\mathop{\rm arsh}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{\sqrt{u^2+1}}$ 
18$ (\mathop{\rm arch}\nolimits u)'_x=\pm\dfrac{u'_x}{\sqrt{u^2-1}}$ 
19 $ (\mathop{\rm arth}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{1-u^2}$ 
20$ (\mathop{\rm arcth}\nolimits u)'_x=\dfrac{u'_x}{1-u^2}$ 
   

Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

   Пример 15.5   Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений:
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-x_3+2x_4-x_5=0,\\ 2x_1-x_2-x_3-x_4... ... -5x_1+7x_2+x_3+10x_4-11x_5=0,\\ -x_1+5x_2-x_3+8x_4-7x_5=0.\end{array}\right.$
Решение. Составляем расширенную матрицу системы:
$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 2&-1&-1&-1&2&0\\ -5&7&1&10&-11&0\\ -1&5&-1&8&-7&0\end{array}\right).$
Умножим первую строку последовательно на $ (-2)$ , 5 и 1 и прибавим соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам. Получим матрицу

Примеры решения и офомления задач контрольной работы

$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 0&-3&1&-5&4&0\\ 0&12&-4&20&-16&0\\ 0&6&-2&10&-8&0\end{array}\right).$
Вторую строку умножим последовательно на числа 4 и 2 и прибавим соответственно к третьей и четвертой строкам.
$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 0&-3&1&-5&4&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{array}\right).$

Классификация операционных систем Виртуальная память Реализация многозадачности
Системы безопасности Операционная система Linux Введение в компьютерные сети Принципы построения вычислительных систем Базовые технологии локальной сетиСредства анализа Процедуры и функции Pascal Язык запросов SQL Программирование на СИ Брандмауэры Протоколы TCP/IP Файловые системы Драйверы устройств